Determine se a série converge ou diverge. sumn=0^infty 1+5^n4^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries geométricas e critérios de convergência para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da série: . Podemos separar essa fração em duas partes: .

Passo 3

Agora, vamos reescrever como . Assim, a série fica: .

Passo 4

Vamos analisar cada uma das séries separadamente:
  1. Série 1:
    Essa é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se . Aqui, , então essa série converge.
  2. Série 2:
    Essa também é uma série geométrica, mas com razão . Verificamos se : , então essa série diverge.

Passo 5

Agora, juntando as duas séries, temos que uma converge e a outra diverge. Quando você tem uma soma de séries, se pelo menos uma delas diverge, a série total também diverge.

Resposta

Portanto, a série diverge.

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