Calcule P(X1=X2) e P(X1 < X2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular duas probabilidades: e . Isso está dentro da matéria de Probabilidade, mais especificamente sobre eventos envolvendo duas variáveis aleatórias. Para resolver, vamos precisar entender como calcular probabilidades de eventos específicos quando temos duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Isso significa a probabilidade de os dois eventos e acontecerem com o mesmo resultado. Vamos supor que e são variáveis aleatórias discretas com um número finito de resultados possíveis e que são independentes.

Passo 3

Para calcular , precisamos somar as probabilidades dos casos em que e são iguais. Se, por exemplo, cada variável pode assumir valores de 1 a com igual probabilidade, então:

Passo 4

Assumindo que e têm distribuição uniforme, ou seja, cada resultado tem a mesma probabilidade. Então, e o mesmo para . Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Isso representa a probabilidade de ser menor que . Novamente, se as variáveis são uniformes e independentes, podemos pensar em todas as combinações possíveis onde é menor que .

Passo 6

O número total de combinações possíveis é . As combinações onde são aquelas onde varia de 1 a e, para cada , varia de a . Então, o número de casos favoráveis é:

Passo 7

Assim, a probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis:

Resposta

Então, as probabilidades são:
e

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