Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é determinar se a série
converge ou diverge. Estamos lidando com séries infinitas aqui, e para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a série dada com outra série que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série quando
fica muito grande. Observamos que
cresce muito rápido, muito mais rápido que o número 5. Então, para valores grandes de
, o termo
é aproximadamente igual a
. Isso significa que nosso termo da série
é aproximadamente
.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série
. Essa é uma série geométrica, onde cada termo é do tipo
. No nosso caso,
e
. Sabemos que uma série geométrica converge se
. Como
, nossa série comparativa converge.
Passo 4
Como estabelecemos que
para todos os
a partir de certo ponto, e sabemos que a série
converge, pelo Teste de Comparação, podemos concluir que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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Calcule
e
.
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