Determine se a série converge ou diverge. sumn=1^infty 34^n+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é determinar se a série converge ou diverge. Estamos lidando com séries infinitas aqui, e para resolver isso, vamos usar o Teste de Comparação. Esse teste nos ajuda a comparar a série dada com outra série que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série quando fica muito grande. Observamos que cresce muito rápido, muito mais rápido que o número 5. Então, para valores grandes de , o termo é aproximadamente igual a . Isso significa que nosso termo da série é aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Essa é uma série geométrica, onde cada termo é do tipo . No nosso caso, e . Sabemos que uma série geométrica converge se . Como , nossa série comparativa converge.

Passo 4

Como estabelecemos que para todos os a partir de certo ponto, e sabemos que a série converge, pelo Teste de Comparação, podemos concluir que a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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