Determine se a série converge ou diverge. sumn=1^infty 1n^3+n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série sumn=1^infty 1n^3+n^2 converge ou diverge. Isso está no conteúdo de séries infinitas e vamos precisar usar o Teste da Comparação para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: 1n^3 + n^2. Podemos fatorar o denominador:
n^3 + n^2 = n^2(n + 1)
Então, a fração fica:
1n^2(n + 1) = 1n^2 cdot (n + 1)

Passo 3

Agora, vamos comparar essa série com uma série conhecida que sabemos se converge ou diverge. Observando 1n^3 + n^2, percebemos que para grandes valores de n, o termo n^3 domina o n^2, então podemos comparar com 1n^3.

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^3 é uma série p, onde p = 3. Como p > 1, essa série converge.

Passo 5

Agora, vamos usar o Teste da Comparação. Como para todo n >= 1:
1n^3 + n^2 <= 1n^3
E já que sumn=1^infty 1n^3 converge, então a série original sumn=1^infty 1n^3 + n^2 também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n^3+n^2 converge.

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