Use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação x^3 - 4 x - 4 = 0 entre o intervalo (2,3) com quatro casas decimais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação e precisamos encontrar uma raiz real dessa equação no intervalo entre 2 e 3 usando o método de Newton, até quatro casas decimais.
Para resolver isso, vamos precisar do método de Newton-Raphson, que é uma técnica iterativa para aproximar as raízes de uma função. Também precisaremos calcular a derivada da função.

Passo 2

Vamos definir a função . Queremos encontrar o valor de onde .
Em seguida, calculamos a derivada dessa função:

Passo 3

O método de Newton usa uma fórmula para melhorar a aproximação da raiz:
Precisamos escolher um ponto inicial dentro do intervalo (2,3). Vamos tentar .

Passo 4

Calculamos e :
Agora aplicamos a fórmula de Newton:

Passo 5

Repetimos o processo com :
Aplicando novamente:

Passo 6

Continuamos com :
Aplicando novamente:

Passo 7

Agora, com :
Aplicando novamente:

Passo 8

Finalmente, com :
Aplicando mais uma vez:
Como a mudança agora é menor que 0.0001, podemos parar aqui.

Resposta

A raiz real da equação no intervalo (2,3) aproximada pelo método de Newton é .

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