Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação por Limites. Precisamos entender como comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica. Temos
, que multiplicando dá
. Para valores grandes de
, os termos menores (como
e
) se tornam menos significativos, então podemos aproximar
.
Passo 3
Agora, tirando a raiz cúbica de
, temos
. Então, o termo geral da nossa série fica aproximadamente
.
Passo 4
Sabemos que a série
é a famosa série harmônica, que é conhecida por divergir. Isso nos dá uma pista sobre o comportamento da nossa série original.
Passo 5
Para confirmar essa semelhança, vamos usar o Teste da Comparação por Limites. Vamos calcular o limite do quociente entre o termo da nossa série e o termo da série harmônica:
Passo 6
Substituindo nossa aproximação
:
Passo 7
Como o limite é um número finito e diferente de zero (
), o Teste da Comparação por Limites nos diz que a série original se comporta como a série harmônica. Já que a série harmônica diverge, a nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.
Exercícios relacionados
Determine se a série converge ou diverge.
Descreva o espaço amostral
para esse experimento.
Determine se a série converge ou diverge.
Determine a densidade condicional de X dado que
.