Determine se a série converge ou diverge. sumn=1^infty 1raiz[3]n(n+1)(n+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série converge ou diverge. O conteúdo que vamos usar aqui envolve séries infinitas e testes de convergência, como o Teste da Comparação ou o Teste da Comparação por Limites. Precisamos entender como comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica. Temos , que multiplicando dá . Para valores grandes de , os termos menores (como e ) se tornam menos significativos, então podemos aproximar .

Passo 3

Agora, tirando a raiz cúbica de , temos . Então, o termo geral da nossa série fica aproximadamente .

Passo 4

Sabemos que a série é a famosa série harmônica, que é conhecida por divergir. Isso nos dá uma pista sobre o comportamento da nossa série original.

Passo 5

Para confirmar essa semelhança, vamos usar o Teste da Comparação por Limites. Vamos calcular o limite do quociente entre o termo da nossa série e o termo da série harmônica:
limn to infty 1raiz[3]n(n+1)(n+2)1n = limn to infty nraiz[3]n(n+1)(n+2)

Passo 6

Substituindo nossa aproximação limn to infty nraiz[3]n^3 = limn to infty nn = 1 :

Passo 7

Como o limite é um número finito e diferente de zero ( ), o Teste da Comparação por Limites nos diz que a série original se comporta como a série harmônica. Já que a série harmônica diverge, a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Determine se a série converge ou diverge. sumn=3^infty 1n^2-4
Descreva o espaço amostral Ω para esse experimento.
Determine se a série converge ou diverge. sumn=1^infty n+1n 2^n
Determine a densidade condicional de X dado que Y = 1 / 2.