Determine se a série converge ou diverge. sumn=1^infty n+1n 2^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série infinita converge ou diverge. Isso envolve entender um pouco sobre séries infinitas e os testes que usamos para analisar a convergência delas. Para resolver, vamos utilizar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil nessas situações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge analisando o limite da razão entre termos consecutivos da série. A fórmula do Teste da Razão é:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não conclui nada, então teríamos que tentar outro método.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, vamos identificar an = n+1n cdot 2^n :
an+1 = (n+1)+1(n+1) cdot 2^n+1 = n+2(n+1) cdot 2^n+1
Agora, calculamos an+1an = n+2(n+1) cdot 2^n+1n+1n cdot 2^n = n+2n+1 cdot n2 :
Agora, vamos montar a razão an+1an = n(n+2)2(n+1)^2 :
Simplificando isso, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando L = limn to infty n(n+2)2(n+1)^2 tende ao infinito:
L = limn to infty 1 cdot (1 + 2n)2(1 + 2n + 1n^2) = 1 cdot (1 + 0)2(1 + 0 + 0) = 12
Dividindo o numerador e o denominador por para simplificar:
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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