Determine se a série converge ou diverge. sumn=1^infty nraizn^5+4

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o Teste da Comparação, que nos ajuda a saber o comportamento de uma série comparando-a com outra que já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série para entendermos melhor como ela se comporta quando raizn^5 + 4 approx raizn^5 = n^5/2 fica muito grande. Observamos que, para valores grandes de , o termo na expressão se torna insignificante em relação a . Então, podemos aproximar:

Passo 3

Substituindo essa aproximação na série original, temos:
nraizn^5+4 approx nn^5/2 = 1n^3/2

Passo 4

Agora, comparamos a série original com a série . Sabemos que a série converge se (isso é conhecido como Teste da Série p).

Passo 5

No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, a série converge.

Passo 6

Como a série original é comparável a uma série que converge e os termos da série original são menores ou iguais aos da série comparada para grande, pelo Teste da Comparação, a série também converge.

Resposta

A série converge.

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