Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Vamos analisar a questão: determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Série Alternada e entender conceitos básicos de limites de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se essa série é alternada. Observando o termo
, percebemos que os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo conforme
aumenta. Portanto, sim, essa série é alternada.
Passo 3
O próximo passo é aplicar o Teste da Série Alternada, que nos diz que uma série da forma
converge se duas condições forem atendidas:
- Sequência Decrescente: Os termos
devem ser decrescentes à medida que aumenta. - Limite Zero: O limite de
quando tende ao infinito deve ser zero.
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição: se a sequência
é decrescente.
Como
aumenta, o denominador
também aumenta, o que faz com que o valor de
diminua. Portanto,
é decrescente.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda condição: se
.
Calculando esse limite, vemos que conforme
cresce,
tende para infinito, e assim
tende para zero.
Resposta
A série
converge.