Determine se a série converge ou diverge.

Passo 1

Vamos analisar a questão: determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Série Alternada e entender conceitos básicos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa série é alternada. Observando o termo , percebemos que os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo conforme aumenta. Portanto, sim, essa série é alternada.

Passo 3

O próximo passo é aplicar o Teste da Série Alternada, que nos diz que uma série da forma converge se duas condições forem atendidas:
  1. Sequência Decrescente: Os termos devem ser decrescentes à medida que aumenta.
  2. Limite Zero: O limite de quando tende ao infinito deve ser zero.

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: se a sequência é decrescente.
Como aumenta, o denominador também aumenta, o que faz com que o valor de diminua. Portanto, é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição: se .
Calculando esse limite, vemos que conforme cresce, tende para infinito, e assim tende para zero.

Resposta

A série converge.

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