Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2+7

Passo 1

Vamos analisar a questão: determinar se a série sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2+7 converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Série Alternada e entender conceitos básicos de limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa série é alternada. Observando o termo (-1)^n-1, percebemos que os sinais dos termos alternam entre positivo e negativo conforme n aumenta. Portanto, sim, essa série é alternada.

Passo 3

O próximo passo é aplicar o Teste da Série Alternada, que nos diz que uma série da forma sum (-1)^n an converge se duas condições forem atendidas:
  1. Sequência Decrescente: Os termos an devem ser decrescentes à medida que n aumenta.
  2. Limite Zero: O limite de an quando n tende ao infinito deve ser zero.

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: se a sequência an = 1n^2+7 é decrescente.
Como n aumenta, o denominador n^2+7 também aumenta, o que faz com que o valor de an diminua. Portanto, an é decrescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição: se limntoinfty 1n^2+7 = 0.
Calculando esse limite, vemos que conforme n cresce, n^2+7 tende para infinito, e assim 1n^2+7 tende para zero.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1 1n^2+7 converge.

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