Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 5^nn(3^n+1)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: precisamos descobrir se a série infinita sumn=1^infty 5^nn(3^n+1) converge ou diverge. Isso envolve o estudo de séries infinitas, especificamente, vamos utilizar testes de convergência para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observamos que podemos separar os termos com potências de 5 e 3:
5^nn(3^n+1) = 5^n3^n+1 cdot n = 5^n3^n cdot 3 cdot n = 13 cdot (53)^n cdot 1n

Passo 3

Agora, reescrevemos a série com essa simplificação:
sumn=1^infty 5^nn(3^n+1) = 13 sumn=1^infty (53)^nn

Passo 4

Vamos analisar a série sumn=1^infty (53)^nn. Notamos que essa série é parecida com a série harmônica sumn=1^infty 1n, mas com um termo adicional (53)^n.

Passo 5

Para determinar a convergência, podemos usar o Teste da Série Geométrica. Sabemos que a série geométrica sumn=1^infty ar^n converge se |r| < 1 e diverge se |r| >= 1.

Passo 6

No nosso caso, o termo (53)^n tem razão r = 53. Como 53 > 1, a série geométrica correspondente diverge.

Passo 7

Além disso, ao considerar o termo (53)^nn, notamos que o fator 1n não é suficiente para compensar o crescimento exponencial de (53)^n. Portanto, a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 5^nn(3^n+1) diverge.

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