Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no problema: precisamos descobrir se a série infinita
converge ou diverge. Isso envolve o estudo de séries infinitas, especificamente, vamos utilizar testes de convergência para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observamos que podemos separar os termos com potências de 5 e 3:
Passo 3
Agora, reescrevemos a série com essa simplificação:
Passo 4
Vamos analisar a série
. Notamos que essa série é parecida com a série harmônica
, mas com um termo adicional
.
Passo 5
Para determinar a convergência, podemos usar o Teste da Série Geométrica. Sabemos que a série geométrica
converge se
e diverge se
.
Passo 6
No nosso caso, o termo
tem razão
. Como
, a série geométrica correspondente diverge.
Passo 7
Além disso, ao considerar o termo
, notamos que o fator
não é suficiente para compensar o crescimento exponencial de
. Portanto, a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.