Resolva as seguintes integrais
(d) integral x2+x^4 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x2 + x^4 , dx. Este exercício pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente utilizando técnicas de substituição. Para resolver, precisaremos identificar uma substituição adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar o denominador. Observando a expressão 2 + x^4, percebemos que x^2 é uma parte comum. Vamos definir:
u = x^2
Isso porque a derivada de u em relação a x nos ajudará a simplificar o numerador.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 2x
Isso implica que:
du = 2x , dx
Ou, rearranjando para isolar x , dx:
x , dx = du2

Passo 4

Substituímos u e x , dx na integral original:
integral x2 + x^4 , dx = integral 12 + u^2 cdot du2
= 12 integral 12 + u^2 , du

Passo 5

Agora, temos uma integral da forma integral 1a^2 + u^2 , du, cuja antiderivada é conhecida:
integral 1a^2 + u^2 , du = 1a arctan(ua) + C
Neste caso, a^2 = 2, então a = raiz2.

Passo 6

Aplicando a fórmula acima à nossa integral:
12 integral 12 + u^2 , du = 12 cdot 1raiz2 arctan(uraiz2) + C
= 12raiz2 arctan(uraiz2) + C

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição u = x^2, vamos substituir de volta:
12raiz2 arctan(x^2raiz2) + C

Resposta

A integral de x2 + x^4 , dx é:
12raiz2 arctan(x^2raiz2) + C

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