Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita da forma e precisamos determinar se ela converge (ou seja, soma até um valor finito) ou diverge (soma sem limite). Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica útil para séries com termos envolvendo potências de .
Passo 2
O Teste da Razão nos ajuda a determinar a convergência de uma série analisando o limite da razão entre termos consecutivos. A fórmula do teste é:
Se , a série converge. Se , a série diverge. Se , o teste não é conclusivo.
Passo 3
Vamos identificar os termos da nossa série. Aqui, an+1 = (n+2)^34^n+1 . Precisamos encontrar :
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do teste da razão:
an+1an = (n+2)^34^n+1(n+1)^34^n = (n+2)^34^n+1 times 4^n(n+1)^3 = (n+2)^34 times (n+1)^3
Passo 5
Simplificamos a expressão:
(n+2)^34 times (n+1)^3 = (n+2)^3(n+1)^3 times 14
Vamos analisar o limite quando limn to infty (n+2)^3(n+1)^3 = limn to infty ( n+2n+1 )^3 = ( limn to infty n+2n+1 )^3 = ( 11 )^3 = 1 tende ao infinito. Observe que:
Passo 6
Agora, multiplicamos pelo L = limn to infty (n+2)^34 times (n+1)^3 = 1 times 14 = 14 :
Passo 7
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge.