Usando o método de frações parciais para calcular a seguinte integral indefinida:
integral(t+Omega^7+7t^2-6 t+9) d t

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida usando o método de frações parciais. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente da técnica de integração de funções racionais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: . Precisamos fatorar esse polinômio.

Passo 3

Observe que t^2 - 6t + 9 = (t - 3)^2 é um trinomio quadrado perfeito, pois pode ser escrito como , já que e .

Passo 4

Agora, reescrevemos a fração original com o denominador fatorado:
t + Omega^7 + 7(t - 3)^2
Como o denominador é um quadrado perfeito, podemos expressar a fração como:
At - 3 + B(t - 3)^2
onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum t + Omega^7 + 7 = A(t - 3) + B para eliminar as frações:

Passo 6

Agora, expandimos a expressão do lado direito:
t + Omega^7 + 7 = A t - 3A + B

Passo 7

Comparamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados da equação:
  • Coeficiente de Omega^7 + 7 = -3(1) + B implies Omega^7 + 7 = -3 + B implies B = Omega^7 + 10 :
  • Termo constante:
Sabemos que , então substituímos na segunda equação:

Passo 8

Agora que temos os valores de t + Omega^7 + 7(t - 3)^2 = 1t - 3 + Omega^7 + 10(t - 3)^2 e , podemos reescrever a fração original:

Passo 9

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral (1t - 3 + Omega^7 + 10(t - 3)^2) dt = integral 1t - 3 dt + (Omega^7 + 10) integral 1(t - 3)^2 dt

Passo 10

Calculamos cada integral separadamente:

Passo 11

Substituímos os resultados das integrais:
ln|t - 3| - Omega^7 + 10t - 3 + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral indefinida é:
ln|t - 3| - Omega^7 + 10t - 3 + C

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