Usando o método de frações parciais para calcular a seguinte integral indefinida:
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
usando o método de frações parciais. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente da técnica de integração de funções racionais. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração:
. Precisamos fatorar esse polinômio.
Passo 3
Observe que
é um trinomio quadrado perfeito, pois pode ser escrito como
, já que
e
.
Passo 4
Agora, reescrevemos a fração original com o denominador fatorado:
Como o denominador é um quadrado perfeito, podemos expressar a fração como:
onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Passo 6
Agora, expandimos a expressão do lado direito:
Passo 7
Comparamos os coeficientes dos termos semelhantes de ambos os lados da equação:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Sabemos que
, então substituímos na segunda equação:
Passo 8
Agora que temos os valores de
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 9
Agora, podemos integrar termo a termo:
Passo 10
Calculamos cada integral separadamente:
Passo 11
Substituímos os resultados das integrais:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral indefinida é: