Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar a série e descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar a técnica de somas telescópicas, que ajuda a simplificar séries quebrando os termos em frações mais simples que “telescopam”, ou seja, cancelam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Basicamente, é uma série onde cada termo pode ser dividido em duas partes que se cancelam com termos anteriores ou posteriores. Isso facilita bastante a soma, pois muitos termos vão desaparecer, restando apenas alguns poucos no final.

Passo 3

Agora, vamos reescrever o termo geral da nossa série . Podemos fatorar o denominador:
Então, nossa fração fica:

Passo 4

Vamos usar a técnica de frações parciais para decompor essa expressão. Queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos resolver para e . Expandindo a equação:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e os termos constantes devem ser iguais:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Substituindo na segunda equação:
Então, .

Passo 7

Substituindo e de volta na decomposição:
Isso mostra que cada termo da série pode ser escrito como a diferença de duas frações, criando assim uma soma telescópica.

Passo 8

Agora, vamos escrever os primeiros termos da série para ver como acontece o telescópio:
Observamos que muitos termos se cancelam:

Passo 9

Para encontrar a soma da série infinita, tiramos o limite quando tende a infinito:

Resposta

A série é convergente e a sua soma é .

Exercícios relacionados

Em cada item, calcule os dois lados e verifique que , em que . e é a região interna ao triângulo de vértices e .
É possível usar o teorema do campo conservativo na integral ?
Expresse o número como uma razão de inteiros.
Use o comando de frações parciais em seu SCA para encontrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então utilize essa expressão para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta usando o SCA para somar a série diretamente.