Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar a série e descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar a técnica de somas telescópicas, que ajuda a simplificar séries quebrando os termos em frações mais simples que “telescopam”, ou seja, cancelam entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Basicamente, é uma série onde cada termo pode ser dividido em duas partes que se cancelam com termos anteriores ou posteriores. Isso facilita bastante a soma, pois muitos termos vão desaparecer, restando apenas alguns poucos no final.
Passo 3
Agora, vamos reescrever o termo geral da nossa série . Podemos fatorar o denominador:
Então, nossa fração fica:
Passo 4
Vamos usar a técnica de frações parciais para decompor essa expressão. Queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos resolver para e . Expandindo a equação:
Agrupando os termos:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e os termos constantes devem ser iguais:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
→
Substituindo na segunda equação:
Então, .
Passo 7
Substituindo e de volta na decomposição:
Isso mostra que cada termo da série pode ser escrito como a diferença de duas frações, criando assim uma soma telescópica.
Passo 8
Agora, vamos escrever os primeiros termos da série para ver como acontece o telescópio:
Observamos que muitos termos se cancelam:
Passo 9
Para encontrar a soma da série infinita, tiramos o limite quando tende a infinito: