Determine se a série é convergente ou divergente expressando sn como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=2^infty 2n^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar a série sumn=2^infty 2n^2-1 e descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar a técnica de somas telescópicas, que ajuda a simplificar séries quebrando os termos em frações mais simples que “telescopam”, ou seja, cancelam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Basicamente, é uma série onde cada termo pode ser dividido em duas partes que se cancelam com termos anteriores ou posteriores. Isso facilita bastante a soma, pois muitos termos vão desaparecer, restando apenas alguns poucos no final.

Passo 3

Agora, vamos reescrever o termo geral da nossa série 2n^2-1. Podemos fatorar o denominador:
n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)
Então, nossa fração fica:
2(n - 1)(n + 1)

Passo 4

Vamos usar a técnica de frações parciais para decompor essa expressão. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
2(n - 1)(n + 1) = An - 1 + Bn + 1
Multiplicando ambos os lados por (n - 1)(n + 1) para eliminar os denominadores:
2 = A(n + 1) + B(n - 1)

Passo 5

Agora, vamos resolver para A e B. Expandindo a equação:
2 = A n + A + B n - B
Agrupando os termos:
2 = (A + B) n + (A - B)
Para que essa igualdade seja válida para todo n, os coeficientes de n e os termos constantes devem ser iguais:
A + B = 0 A - B = 2

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. A + B = 0 A = -B
  2. Substituindo na segunda equação:
(-B) - B = 2 -2B = 2 B = -1
Então, A = 1.

Passo 7

Substituindo A e B de volta na decomposição:
2n^2-1 = 1n - 1 - 1n + 1
Isso mostra que cada termo da série pode ser escrito como a diferença de duas frações, criando assim uma soma telescópica.

Passo 8

Agora, vamos escrever os primeiros termos da série para ver como acontece o telescópio:
sumn=2^N ( 1n - 1 - 1n + 1 ) = ( 11 - 13 ) + ( 12 - 14 ) + ( 13 - 15 ) + dots + ( 1N-1 - 1N+1 )
Observamos que muitos termos se cancelam:
= 11 + 12 - 1N - 1N+1

Passo 9

Para encontrar a soma da série infinita, tiramos o limite quando N tende a infinito:
limN to infty ( 11 + 12 - 1N - 1N+1 ) = 1 + 12 - 0 - 0 = 32

Resposta

A série sumn=2^infty 2n^2-1 é convergente e a sua soma é 32.

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