Use o comando de frações parciais em seu SCA para encontrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então utilize essa expressão para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta usando o SCA para somar a série diretamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar frações parciais para encontrar uma expressão legal para a soma parcial da série . Depois, vamos usar essa expressão para calcular a soma da série completa. Para isso, vamos precisar entender como decompor frações racionais em frações parciais e aplicar esse conhecimento para somar a série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração . Podemos fatorar da seguinte maneira:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Para facilitar, fazemos uma substituição: deixe . Assim, temos:
Voltando para :
Portanto, o denominador totalmente fatorado fica:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes , , , e tais que:
Passo 4
Para encontrar os valores de , , , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Para facilitar, podemos escolher valores específicos de que anulam termos e assim resolver para cada constante:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Com os valores das constantes encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 6
Agora, vamos escrever a soma parcial usando essa decomposição:
Ao expandir essa soma, muitos termos vão se cancelar mutuamente, fenômeno conhecido como telescópio em séries.
Passo 7
Após simplificar os termos que se anulam, ficamos com:
Observamos que, ao somar até o infinito, apenas alguns termos iniciais permanecem, pois os demais se cancelam.
Passo 8
Calculando os termos que não se cancelam, obtemos:
Após simplificar, os termos convergem para um valor finito.
Passo 9
Finalmente, somando tudo e simplificando os coeficientes, chegamos ao resultado: