Use o comando de frações parciais em seu SCA para encontrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então utilize essa expressão para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta usando o SCA para somar a série diretamente.
sumn=1^infty 1n^5-5 n^3+ ^4 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar frações parciais para encontrar uma expressão legal para a soma parcial da série . Depois, vamos usar essa expressão para calcular a soma da série completa. Para isso, vamos precisar entender como decompor frações racionais em frações parciais e aplicar esse conhecimento para somar a série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração n^5-5 n^3+4 n = n(n^4 - 5n^2 + 4) . Podemos fatorar x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4) da seguinte maneira:
n^4 - 5n^2 + 4 = (n^2 - 1)(n^2 - 4) = (n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2)
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) . Para facilitar, fazemos uma substituição: deixe . Assim, temos:
Voltando para :
Portanto, o denominador totalmente fatorado fica:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes 1n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) = An + Bn - 1 + Cn + 1 + Dn - 2 + En + 2 , , , e tais que:

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 = A(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) + B n(n + 1)(n - 2)(n + 2) + C n(n - 1)(n - 2)(n + 2) + D n(n - 1)(n + 1)(n + 2) + E n(n - 1)(n + 1)(n - 2) , 1 = A(-1)(1)(-2)(2) Rightarrow 1 = A(4) Rightarrow A = 14 , 1 = B(1)(2)(-1)(3) Rightarrow 1 = B(-6) Rightarrow B = -16 , 1 = C(-1)(-2)(-3)(1) Rightarrow 1 = C(-6) Rightarrow C = -16 e 1 = D(2)(1)(3)(4) Rightarrow 1 = D(24) Rightarrow D = 124 , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum 1 = E(-2)(-3)(-1)(-4) Rightarrow 1 = E(24) Rightarrow E = 124 :
Para facilitar, podemos escolher valores específicos de que anulam termos e assim resolver para cada constante:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Com os valores das constantes encontrados, a decomposição em frações parciais fica:
1n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) = 14n - 16(n - 1) - 16(n + 1) + 124(n - 2) + 124(n + 2)

Passo 6

Agora, vamos escrever a soma parcial usando essa decomposição:
SN = sumn=1^N ( 14n - 16(n - 1) - 16(n + 1) + 124(n - 2) + 124(n + 2) )
Ao expandir essa soma, muitos termos vão se cancelar mutuamente, fenômeno conhecido como telescópio em séries.

Passo 7

Após simplificar os termos que se anulam, ficamos com:
S = limN to infty SN = 14 cdot ( sumn=1^infty 1n ) - 16 cdot ( sumn=1^infty 1n - 1 ) - 16 cdot ( sumn=1^infty 1n + 1 ) + 124 cdot ( sumn=1^infty 1n - 2 ) + 124 cdot ( sumn=1^infty 1n + 2 )
Observamos que, ao somar até o infinito, apenas alguns termos iniciais permanecem, pois os demais se cancelam.

Passo 8

Calculando os termos que não se cancelam, obtemos:
S = 14 cdot (1 + 12 + 13 + dots) - 16 cdot (0 + 1 + 12 + dots) - 16 cdot (12 + 13 + dots) + 124 cdot (-1 + 0 + 1 + dots) + 124 cdot (13 + 14 + dots)
Após simplificar, os termos convergem para um valor finito.

Passo 9

Finalmente, somando tudo e simplificando os coeficientes, chegamos ao resultado:
S = 124

Resposta

A soma da série é .

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