Use o comando de frações parciais em seu SCA para encontrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então utilize essa expressão para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta usando o SCA para somar a série diretamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar frações parciais para encontrar uma expressão legal para a soma parcial da série . Depois, vamos usar essa expressão para calcular a soma da série completa. Para isso, vamos precisar entender como decompor frações racionais em frações parciais e aplicar esse conhecimento para somar a série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração . Podemos fatorar da seguinte maneira:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático . Para facilitar, fazemos uma substituição: deixe . Assim, temos:
Voltando para :
Portanto, o denominador totalmente fatorado fica:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes , , , e tais que:

Passo 4

Para encontrar os valores de , , , e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Para facilitar, podemos escolher valores específicos de que anulam termos e assim resolver para cada constante:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Com os valores das constantes encontrados, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 6

Agora, vamos escrever a soma parcial usando essa decomposição:
Ao expandir essa soma, muitos termos vão se cancelar mutuamente, fenômeno conhecido como telescópio em séries.

Passo 7

Após simplificar os termos que se anulam, ficamos com:
Observamos que, ao somar até o infinito, apenas alguns termos iniciais permanecem, pois os demais se cancelam.

Passo 8

Calculando os termos que não se cancelam, obtemos:
Após simplificar, os termos convergem para um valor finito.

Passo 9

Finalmente, somando tudo e simplificando os coeficientes, chegamos ao resultado:

Resposta

A soma da série é .

Exercícios relacionados

Expresse o número como uma razão de inteiros.
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.
Determine se a série é convergente ou divergente expressando como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.
Expresse o número como uma razão de inteiros.