É possível usar o teorema do campo conservativo na integral ?

Passo 1

Então, a gente tem uma integral de linha dada por e queremos saber se dá para aplicar o teorema do campo conservativo aqui. Basicamente, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e ver se esse vetor que a gente tem aqui satisfaz as condições para ser conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar , ou seja, . Uma característica importante dos campos conservativos é que a integral de linha entre dois pontos depende só dos pontos inicial e final, e não do caminho escolhido.

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, vamos calcular o rotacional de , que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então, o rotacional fica:

Passo 4

Agora, para o campo ser conservativo, o rotacional dele precisa ser igual a zero em todo o domínio. Vamos analisar o resultado que obtivemos:
Como o rotacional não é zero (a menos que seja específico, o que não é o caso geral), o campo não é conservativo.

Passo 5

Já que o campo não é conservativo, não dá para aplicar o teorema do campo conservativo para essa integral de linha. Isso significa que a integral vai depender do caminho escolhido entre os pontos inicial e final, e não podemos simplificar a resolu��ão utilizando uma função potencial.

Resposta

Não, não é possível usar o teorema do campo conservativo na integral dada.

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