É possível usar o teorema do campo conservativo na integral
?
Passo 1
Então, a gente tem uma integral de linha dada por
e queremos saber se dá para aplicar o teorema do campo conservativo aqui. Basicamente, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e ver se esse vetor que a gente tem aqui satisfaz as condições para ser conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar
, ou seja,
. Uma característica importante dos campos conservativos é que a integral de linha entre dois pontos depende só dos pontos inicial e final, e não do caminho escolhido.
Passo 3
Para verificar se o campo
é conservativo, vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Então, o rotacional fica:
Passo 4
Agora, para o campo ser conservativo, o rotacional dele precisa ser igual a zero em todo o domínio. Vamos analisar o resultado que obtivemos:
Como o rotacional não é zero (a menos que
seja específico, o que não é o caso geral), o campo
não é conservativo.
Passo 5
Já que o campo não é conservativo, não dá para aplicar o teorema do campo conservativo para essa integral de linha. Isso significa que a integral vai depender do caminho escolhido entre os pontos inicial e final, e não podemos simplificar a resolu��ão utilizando uma função potencial.
Resposta
Não, não é possível usar o teorema do campo conservativo na integral dada.
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Considere a função
cujo gráfico está representado abaixo. Calcule as integrais pedidas.
Um pedaço de fio com 10 metros de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total seja: (b) um mínimo? (Aquadrado
, onde
é o lado do quadrado e
, onde
é o lado do triângulo equilátero)
Em cada item, calcule os dois lados e verifique que
, em que
.
e
é a região interna ao triângulo de vértices
e
.
Determine se a série é convergente ou divergente expressando
como uma soma telescópica (como no Exemplo 7). Se for convergente, calcule sua soma.