Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma série que é a soma de termos como
. O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a sua soma. Para resolver, vamos usar conceitos de séries infinitas e frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é
. Para simplificar, podemos decompor esse termo em frações parciais. Isso ajuda a identificar padrões que facilitam a soma da série.
Passo 3
Vamos decompor
em frações simples. Usamos a seguinte identidade:
Isso significa que cada termo da série pode ser escrito como a diferença de duas frações menores.
Passo 4
Agora, substituímos cada termo da série pela forma decomposada:
Perceba que muitos termos se cancelam. Isso é o que chamamos de série telescópica.
Passo 5
Vamos calcular a soma parcial até o termo
:
Para encontrar a soma da série infinita, levamos
ao infinito:
Resposta
A série é convergente e a sua soma é
.