Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma série que é a soma de termos como
. O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a sua soma. Para resolver, vamos usar conceitos de séries infinitas e frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é
. Para simplificar, podemos decompor esse termo em frações parciais. Isso ajuda a identificar padrões que facilitam a soma da série.
Passo 3
Vamos decompor
em frações simples. Usamos a seguinte identidade:
Isso significa que cada termo da série pode ser escrito como a diferença de duas frações menores.
Passo 4
Agora, substituímos cada termo da série pela forma decomposada:
Perceba que muitos termos se cancelam. Isso é o que chamamos de série telescópica.
Passo 5
Vamos calcular a soma parcial até o termo
:
Para encontrar a soma da série infinita, levamos
ao infinito:
Resposta
A série é convergente e a sua soma é
.
Exercícios relacionados
Use a tabela para determinar o valor de cada expressão.
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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3 | 1 | 5 | 6 | 2 | 4 |
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5 | 3 | 4 | 1 | 3 | 2 |
- (a)
Expresse a função na forma
.
reduza à forma
cada um dos números complexos dados.
Determine a parte real e imaginária de cada uma das funções dadas.