Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
1/(2*3) + 1/(3*4) + 1/(4*5) + ... + 1/((k+1)(k+2)) + ...

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma série que é a soma de termos como . O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a sua soma. Para resolver, vamos usar conceitos de séries infinitas e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é . Para simplificar, podemos decompor esse termo em frações parciais. Isso ajuda a identificar padrões que facilitam a soma da série.

Passo 3

Vamos decompor em frações simples. Usamos a seguinte identidade:
Isso significa que cada termo da série pode ser escrito como a diferença de duas frações menores.

Passo 4

Agora, substituímos cada termo da série pela forma decomposada:
Perceba que muitos termos se cancelam. Isso é o que chamamos de série telescópica.

Passo 5

Vamos calcular a soma parcial até o termo n:
Para encontrar a soma da série infinita, levamos n ao infinito:

Resposta

A série é convergente e a sua soma é 1/2.

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