Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

Passo 1

Vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma série que é a soma de termos como . O objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular a sua soma. Para resolver, vamos usar conceitos de séries infinitas e frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série, que é . Para simplificar, podemos decompor esse termo em frações parciais. Isso ajuda a identificar padrões que facilitam a soma da série.

Passo 3

Vamos decompor em frações simples. Usamos a seguinte identidade:
Isso significa que cada termo da série pode ser escrito como a diferença de duas frações menores.

Passo 4

Agora, substituímos cada termo da série pela forma decomposada:
Perceba que muitos termos se cancelam. Isso é o que chamamos de série telescópica.

Passo 5

Vamos calcular a soma parcial até o termo :
Para encontrar a soma da série infinita, levamos ao infinito:

Resposta

A série é convergente e a sua soma é .

Exercícios relacionados

Use a tabela para determinar o valor de cada expressão.
1 2 3 4 5 6
3 1 5 6 2 4
5 3 4 1 3 2
  1. (a)
Expresse a função na forma .
reduza à forma cada um dos números complexos dados.
Determine a parte real e imaginária de cada uma das funções dadas.