Determine a parte real e imaginária de cada uma das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a parte real e a parte imaginária da função
. Isso envolve trabalhar com números complexos, especificamente com a divisão de números complexos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como dividir números complexos usando o conjugado e depois separar a função resultante em suas partes real e imaginária.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o número complexo
na forma padrão, ou seja,
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Assim, nossa função fica:
Passo 3
Para simplificar essa fração complexa, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
. Fazendo isso, temos:
Passo 4
Vamos calcular o denominador primeiro. Usando a fórmula
:
Passo 5
Agora, vamos expandir o numerador:
Passo 6
Agora, juntando o numerador e o denominador, temos:
Passo 7
Podemos separar
em sua parte real
e parte imaginária
:
Resposta
A parte real de
é
e a parte imaginária é
.
Exercícios relacionados
reduza à forma
cada um dos números complexos dados.
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Encontre as funções (a)
, (b)
, ©
e (d)
e seus domínios.
Use a equação de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada
.