Determine a parte real e imaginária de cada uma das funções dadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a parte real e a parte imaginária da função . Isso envolve trabalhar com números complexos, especificamente com a divisão de números complexos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como dividir números complexos usando o conjugado e depois separar a função resultante em suas partes real e imaginária.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o número complexo na forma padrão, ou seja, , onde é a parte real e é a parte imaginária. Assim, nossa função fica:

Passo 3

Para simplificar essa fração complexa, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é . Fazendo isso, temos:

Passo 4

Vamos calcular o denominador primeiro. Usando a fórmula :

Passo 5

Agora, vamos expandir o numerador:
á

Passo 6

Agora, juntando o numerador e o denominador, temos:

Passo 7

Podemos separar em sua parte real e parte imaginária :

Resposta

A parte real de é e a parte imaginária é .

Exercícios relacionados

reduza à forma cada um dos números complexos dados.
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Encontre as funções (a) , (b) , © e (d) e seus domínios.
Use a equação de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada .