Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita que a gente precisa analisar para ver se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. A série em questão é:
Aqui, estamos lidando com séries que têm termos alternados (por causa do ) e termos que envolvem raízes quadradas. Vamos precisar lembrar um pouco sobre séries alternadas e séries p para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo . Sabemos que:
Ou seja, cada termo da nossa série é igual a . Então, a série fica:
Mas como estamos interessados em saber sobre a convergência, vamos analisar o magnitude dos termos e o comportamento da série.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos dos termos:
Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se e diverge se . Como , essa série diverge. Portanto, a série original não converge absolutamente.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a série converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada. Para esse teste, precisamos que duas condições sejam atendidas:
Os termos da série, sem o sinal alternado, , sejam decrescentes.
O limite de quando tende ao infinito seja zero.
Vamos verificar:
Decrescimento: diminui conforme aumenta, então está decrescendo.
Limite: .
Como ambas as condições são verdadeiras, pelo Teste da Série Alternada, a série original converge condicionalmente.