Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge.
sumn=1^infty(-1)^2 n+1 1raizn

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma série infinita que a gente precisa analisar para ver se ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. A série em questão é:
sumn=1^infty (-1)^2n +1 1raizn
Aqui, estamos lidando com séries que têm termos alternados (por causa do ) e termos que envolvem raízes quadradas. Vamos precisar lembrar um pouco sobre séries alternadas e séries p para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo (-1)^2n +1 = (-1)^2n times (-1)^1 = (1)^n times (-1) = -1 . Sabemos que:
sumn=1^infty -1raizn
Ou seja, cada termo da nossa série é igual a . Então, a série fica:
Mas como estamos interessados em saber sobre a convergência, vamos analisar o magnitude dos termos e o comportamento da série.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos dos termos:
sumn=1^infty | -1raizn | = sumn=1^infty 1raizn
Essa é uma série p, onde . Sabemos que uma série p converge se e diverge se . Como , essa série diverge. Portanto, a série original não converge absolutamente.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a série converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada. Para esse teste, precisamos que duas condições sejam atendidas:
  1. Os termos da série, sem o sinal alternado, , sejam decrescentes.
  2. O limite de quando tende ao infinito seja zero.
Vamos verificar:
  1. Decrescimento: diminui conforme aumenta, então está decrescendo.
  2. Limite: .
Como ambas as condições são verdadeiras, pelo Teste da Série Alternada, a série original converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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