Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.
sumn=1^infty n!e^nn^n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na série que a gente precisa analisar: . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Razão ou o Teste da Raiz. Além disso, vamos precisar entender um pouquinho sobre fatoriais e exponenciais para manjar da parada.

Passo 2

Vamos começar aplicando o Teste da Razão, que é bem útil para séries envolvendo fatoriais e exponenciais. Esse teste nos diz que, se o limite da razão entre termos consecutivos da série for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva.
Matematicamente, isso fica assim:
L = limn to infty | an+1an |
onde .

Passo 3

Vamos calcular essa razão an+1an = (n+1)!e^n+1(n+1)^n+1 times n^nn!e^n = (n+1)e(n+1)^n+1 times n^n = e times n^n(n+1)^n :
Simplificando mais:
n^n(n+1)^n = ( nn+1 )^n = (1 - 1n+1)^n
Sabemos que:
limn to infty (1 - 1n+1)^n = 1e
Então, substituindo de volta:
L = e times 1e = 1
Como o limite , o Teste da Razão não nos ajuda aqui. Precisamos tentar outro método.

Passo 4

Vamos então utilizar o Teste da Raiz, que é especialmente útil quando temos termos elevados a uma potência de L = limn to infty raiz[n]|an| . Esse teste diz que:
raiz[n]an = raiz[n]n!e^nn^n = raiz[n]n! times en
Se n! approx n^ne^-nraiz2pi n , a série converge; se raiz[n]n! approx raiz[n]n^ne^-nraiz2pi n = n e^-1 times (2pi n)^1/(2n) , diverge; e se raiz[n]an approx n e^-1 times 1 times en = e^-1 times e = 1 , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular :
Para simplificar, usamos a Fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial:
Aplicando a raiz -ésima:
Note que tende a 1 conforme cresce. Portanto, temos:
De novo, o limite , e o Teste da Raiz também não nos dá a resposta.

Passo 5

Como os dois testes não foram conclusivos, vamos analisar o comportamento dos termos da série para ver se eles tendem a zero ou não. Se os termos não tendem a zero, a série definitivamente diverge.
Vamos calcular o limite de limn to infty n!e^nn^n = limn to infty an conforme n! approx n^ne^-nraiz2pi n tende ao infinito:
an approx n^ne^-nraiz2pi n times e^nn^n = raiz2pi n
Usando novamente a Fórmula de Stirling:
limn to infty an = infty neq 0
Assim:
Claramente, tende ao infinito conforme cresce. Portanto:
Isso significa que os termos da série não tendem a zero.

Resposta

A série diverge, já que os termos não tendem a zero conforme cresce.

Exercícios relacionados