Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na série que a gente precisa analisar: . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar alguns testes de convergência de séries, como o Teste da Razão ou o Teste da Raiz. Além disso, vamos precisar entender um pouquinho sobre fatoriais e exponenciais para manjar da parada.
Passo 2
Vamos começar aplicando o Teste da Razão, que é bem útil para séries envolvendo fatoriais e exponenciais. Esse teste nos diz que, se o limite da razão entre termos consecutivos da série for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva.
Matematicamente, isso fica assim:
onde .
Passo 3
Vamos calcular essa razão :
Simplificando mais:
Sabemos que:
Então, substituindo de volta:
Como o limite , o Teste da Razão não nos ajuda aqui. Precisamos tentar outro método.
Passo 4
Vamos então utilizar o Teste da Raiz, que é especialmente útil quando temos termos elevados a uma potência de . Esse teste diz que:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular :
Para simplificar, usamos a Fórmula de Stirling, que aproxima o fatorial:
Aplicando a raiz -ésima:
Note que tende a 1 conforme cresce. Portanto, temos:
De novo, o limite , e o Teste da Raiz também não nos dá a resposta.
Passo 5
Como os dois testes não foram conclusivos, vamos analisar o comportamento dos termos da série para ver se eles tendem a zero ou não. Se os termos não tendem a zero, a série definitivamente diverge.
Vamos calcular o limite de conforme tende ao infinito:
Usando novamente a Fórmula de Stirling:
Assim:
Claramente, tende ao infinito conforme cresce. Portanto:
Isso significa que os termos da série não tendem a zero.
Resposta
A série diverge, já que os termos não tendem a zero conforme cresce.