Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
2 + 1/8 - 1/4 + 1/2 - 1 + ....

Passo 1

Vamos analisar a série . Usaremos conceitos de séries geométricas para determinar se ela converge ou diverge. Precisaremos identificar a razão da série e verificar se ela atende aos critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da série:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
  • Quarto termo:
  • Quinto termo:
  • E assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos calcular a razão entre termos consecutivos para ver se a série é geométrica. A razão é dada por:
Calculando entre os termos:

Passo 4

Observamos que a partir do segundo termo, a razão é constante. Isso indica que a série, a partir do segundo termo, é uma progressão geométrica com razão e primeiro termo .

Passo 5

Para uma série geométrica ser convergente, a razão deve satisfazer . No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, a série geométrica é divergente.

Passo 6

Mesmo considerando o primeiro termo separado ( ), a soma da série não será afetada a ponto de torná-la convergente. A parte divergente da série domina o comportamento geral.

Resposta

A série é divergente.

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