Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
.
Passo 1
Vamos analisar a série
. Usaremos conceitos de séries geométricas para determinar se ela converge ou diverge. Precisaremos identificar a razão da série e verificar se ela atende aos critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da série:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
- Quinto termo:
- E assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos calcular a razão entre termos consecutivos para ver se a série é geométrica. A razão
é dada por:
Calculando entre os termos:
Passo 4
Observamos que a partir do segundo termo, a razão
é constante. Isso indica que a série, a partir do segundo termo, é uma progressão geométrica com razão
e primeiro termo
.
Passo 5
Para uma série geométrica
ser convergente, a razão deve satisfazer
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Portanto, a série geométrica é divergente.
Passo 6
Mesmo considerando o primeiro termo separado (
), a soma da série não será afetada a ponto de torná-la convergente. A parte divergente da série domina o comportamento geral.
Resposta
A série é divergente.