Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
3 - 4 + 2 + 16/3 + 64/9 + ....

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O conteúdo da matéria envolve séries infinitas, mais especificamente séries geométricas. Precisamos determinar se essa série é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular sua soma.

Passo 2

Vamos verificar se essa série é uma série geométrica. Em uma série geométrica, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante .

Passo 3

Identificamos o primeiro termo da série, que é . Agora, vamos encontrar a razão dividindo o segundo termo pelo primeiro:

Passo 4

Vamos verificar se essa razão se mantém nos demais termos. Calculando a razão entre o terceiro e o segundo termo:
Como a razão mudou, a série não parece ser geométrica com uma razão constante. Porém, vamos analisar mais a fundo.

Passo 5

Observando os termos seguintes:
Podemos notar que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por . Vamos considerar essa razão para todos os termos.

Passo 6

Assumindo que a série seja geométrica com primeiro termo e razão , o termo geral da série seria:

Passo 7

Para uma série geométrica ser convergente, é necessário que o valor absoluto da razão seja menor que 1:

Passo 8

Como é maior que 1, a série não converge. Isso significa que ela é divergente e não possui uma soma finita.

Resposta

A série é divergente.

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