Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O conteúdo da matéria envolve séries infinitas, mais especificamente séries geométricas. Precisamos determinar se essa série é convergente ou divergente e, se for convergente, calcular sua soma.
Passo 2
Vamos verificar se essa série é uma série geométrica. Em uma série geométrica, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante .
Passo 3
Identificamos o primeiro termo da série, que é . Agora, vamos encontrar a razão dividindo o segundo termo pelo primeiro:
Passo 4
Vamos verificar se essa razão se mantém nos demais termos. Calculando a razão entre o terceiro e o segundo termo:
Como a razão mudou, a série não parece ser geométrica com uma razão constante. Porém, vamos analisar mais a fundo.
Passo 5
Observando os termos seguintes:
Podemos notar que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por . Vamos considerar essa razão para todos os termos.
Passo 6
Assumindo que a série seja geométrica com primeiro termo e razão , o termo geral da série seria:
Passo 7
Para uma série geométrica ser convergente, é necessário que o valor absoluto da razão seja menor que 1:
Passo 8
Como é maior que 1, a série não converge. Isso significa que ela é divergente e não possui uma soma finita.