Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma total. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e fatoração de expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
. Para simplificar essa expressão, vamos fatorar o denominador.
A fatoração de um polinômio do segundo grau
busca encontrar dois números que multiplicados dão
e somados dão
. No nosso caso, queremos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão 4. Esses números são 1 e 3, porque
e
.
Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos reescrever o termo geral usando essa fatoração:
Passo 4
Para simplificar essa fração, vamos usar a técnica de frações parciais. A ideia é escrever
como a soma de duas frações menores:
Onde
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, temos:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Resolvendo o sistema de equações:
- De
, temos . - Substituindo na segunda equação:
. - Então,
.
Passo 7
Agora sabemos que:
Isso significa que nossa série pode ser reescrita como:
Passo 8
Vamos analisar como essa série se comporta. Observe que, ao expandir os primeiros termos, muitos deles se cancelam:
Vemos que os termos
vão se cancelando com os termos positivos seguintes.
Passo 9
Como muitos termos se cancelam, a série é telescópica. Nesse tipo de série, sobraram apenas alguns termos no início e no final quando somamos até um certo número
e depois tomamos o limite quando
tende ao infinito.
Calculando a soma parcial até
:
Muitos termos se cancelam, e nos restam:
Passo 10
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Como
e
tendem a zero quando
vai para infinito, resta:
Resposta
A série
é convergente e a sua soma é
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico da função
dada por
Suponha que
é verdade. Prove que
é verdade.
Determine se a série converge ou diverge. (teste de comparação)
(10 pontos) Prove que se
, então o raio de convergência da série
é 4 .