Determine se a série é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 2n^2+4 n+3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular a soma total. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e fatoração de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série: n^2 + 4n + 3 = (n + 1)(n + 3) . Para simplificar essa expressão, vamos fatorar o denominador.
A fatoração de um polinômio do segundo grau busca encontrar dois números que multiplicados dão e somados dão . No nosso caso, queremos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão 4. Esses números são 1 e 3, porque e .
Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos reescrever o termo geral usando essa fatoração:
2n^2+4n+3 = 2(n + 1)(n + 3)

Passo 4

Para simplificar essa fração, vamos usar a técnica de frações parciais. A ideia é escrever 2(n + 1)(n + 3) = An + 1 + Bn + 3 como a soma de duas frações menores:
Onde e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados da equação por 2 = A(n + 3) + B(n + 1) para eliminar os denominadores, temos:
2 = An + 3A + Bn + B
Expandindo os termos:
2 = (A + B)n + (3A + B)
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Resolvendo o sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Então, .

Passo 7

Agora sabemos que:
2(n + 1)(n + 3) = 1n + 1 - 1n + 3
Isso significa que nossa série pode ser reescrita como:
sumn=1^infty ( 1n + 1 - 1n + 3 )

Passo 8

Vamos analisar como essa série se comporta. Observe que, ao expandir os primeiros termos, muitos deles se cancelam:
( 12 - 14 ) + ( 13 - 15 ) + ( 14 - 16 ) + cdots
Vemos que os termos vão se cancelando com os termos positivos seguintes.

Passo 9

Como muitos termos se cancelam, a série é telescópica. Nesse tipo de série, sobraram apenas alguns termos no início e no final quando somamos até um certo número SN = ( 12 - 14 ) + ( 13 - 15 ) + cdots + ( 1N+1 - 1N+3 ) e depois tomamos o limite quando SN = 12 + 13 - 1N+2 - 1N+3 tende ao infinito.
Calculando a soma parcial até :
Muitos termos se cancelam, e nos restam:

Passo 10

Agora, vamos calcular o limite de limN to infty SN = 12 + 13 - limN to infty ( 1N+2 + 1N+3 ) quando limN to infty SN = 12 + 13 = 56 tende ao infinito:
Como e tendem a zero quando vai para infinito, resta:

Resposta

A série é convergente e a sua soma é .

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Determine se a série converge ou diverge. (teste de comparação)
sum sen(1n)
(10 pontos) Prove que se lim n infty raiz[n]an=14, então o raio de convergência da série sumn=1^infty an x^n é 4 .