Esboce o gráfico da função f: R -> R dada por
f(x) = { |x - 1| - |x + 1|, se x < 2; 1/2 x + 1, se x ≥ 2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para esboçarmos o gráfico da função definida por partes. A matéria que vamos usar aqui envolve funções definidas por partes e funções módulo (valor absoluto). Precisamos entender como cada parte da função se comporta para montar o gráfico completo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função para :
Para entender como essa função se comporta, vamos considerar os pontos onde os valores dentro dos módulos mudam de sinal, ou seja, onde e . Isso acontece em e .

Passo 3

Dividimos o intervalo em três partes com base nos pontos críticos e :
Vamos analisar cada intervalo separadamente.

Passo 4

Para :
Então,
A função é constante igual a 2 nesse intervalo.
Para :
Ent��o,
Aqui, a função é uma reta com coeficiente angular .
Para :
Então,
A função é constante igual a -2 nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos analisar a parte da função para :
Essa é uma função linear com coeficiente angular e intercepto em . É uma reta crescente.

Passo 6

Vamos juntar todas as partes:
  • Para , (reta horizontal).
  • Para , (reta decrescente).
  • Para , (reta horizontal).
  • Para , (reta crescente).
Devemos também verificar a continuidade nos pontos , , e para garantir que o gráfico esteja correto.

Resposta

O gráfico da função é composto por uma reta horizontal em para , uma reta decrescente entre , outra reta horizontal em entre , e uma reta crescente para . O gráfico é contínuo nos pontos de transição.

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