Determine os valores de para os quais o PVI definido pela EDO e pela condi, crao inicial com certeza tem solu, caao
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de que garantem que o Problema de Valor Inicial (PVI) definido pela Equação Diferencial Ordinária (EDO) com e a condição inicial tenha certeza de ter solução. Vamos usar conceitos de existência e unicidade de soluções para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um PVI. Um PVI combina uma EDO com uma condição inicial, ou seja, sabemos o valor da função em um ponto específico . Nosso objetivo é encontrar tal que essa condição inicial garanta que a EDO tem uma solução única.

Passo 3

A gente vai usar o Teorema de Picard-Lindelöf, que nos diz que se a função for contínua e satisfez a condição de Lipschitz em torno de , então existe uma solução única para o PVI naquele ponto. No nosso caso, é uma função muito legal: ela é contínua e diferenciável em todo lugar, o que satisfaça as condições do teorema.

Passo 4

Como é contínua e tem derivada contínua, pelo Teorema de Picard-Lindelöf, para qualquer valor inicial , existe uma solução única para o PVI em um intervalo ao redor de . Isso significa que qualquer valor de que a gente escolher vai garantir que o PVI tenha uma solução localmente.

Passo 5

No entanto, se pensarmos na solução de forma global (isto é, para todo o tempo ), a situação muda um pouco. A solução geral da EDO é , onde é uma constante determinada pela condição inicial. Se , a solução vai “explodir” (tornar-se infinita) em algum ponto , o que significa que a solução não existe para todo o tempo. Apenas quando , a solução é para todo , que é uma solução válida globalmente.

Resposta

Os valores de para os quais o PVI definido por e tem solução localmente são todos os valores reais. Porém, apenas para a solução existe para todo o tempo.

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Determine os valores de para os quais o PVI definido pela EDO e pela condi, crao inicial com certeza tem solu, caao
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Determine os valores de para os quais o PVI definido pela EDO e pela condi, crao inicial com certeza tem solu, caao
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