Determine os valores de
para os quais o PVI definido pela EDO
e pela condi, crao inicial
com certeza tem solu, caao
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de
que garantem que o Problema de Valor Inicial (PVI) definido pela Equação Diferencial Ordinária (EDO)
com
e a condição inicial
tenha certeza de ter solução. Vamos usar conceitos de existência e unicidade de soluções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um PVI. Um PVI combina uma EDO com uma condição inicial, ou seja, sabemos o valor da função
em um ponto específico
. Nosso objetivo é encontrar
tal que essa condição inicial garanta que a EDO tem uma solução única.
Passo 3
A gente vai usar o Teorema de Picard-Lindelöf, que nos diz que se a função
for contínua e satisfez a condição de Lipschitz em torno de
, então existe uma solução única para o PVI naquele ponto. No nosso caso,
é uma função muito legal: ela é contínua e diferenciável em todo lugar, o que satisfaça as condições do teorema.
Passo 4
Como
é contínua e tem derivada contínua, pelo Teorema de Picard-Lindelöf, para qualquer valor inicial
, existe uma solução única para o PVI em um intervalo ao redor de
. Isso significa que qualquer valor de
que a gente escolher vai garantir que o PVI tenha uma solução localmente.
Passo 5
No entanto, se pensarmos na solução de forma global (isto é, para todo o tempo
), a situação muda um pouco. A solução geral da EDO
é
, onde
é uma constante determinada pela condição inicial. Se
, a solução vai “explodir” (tornar-se infinita) em algum ponto
, o que significa que a solução não existe para todo o tempo. Apenas quando
, a solução é
para todo
, que é uma solução válida globalmente.
Resposta
Os valores de
para os quais o PVI definido por
e
tem solução localmente são todos os valores reais. Porém, apenas para
a solução existe para todo o tempo.
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.
Determine os valores de
para os quais o PVI definido pela EDO
e pela condi, crao inicial
com certeza tem solu, caao
©
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Determine os valores de
para os quais o PVI definido pela EDO
e pela condi, crao inicial
com certeza tem solu, caao
(b)
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