Determine se a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente, ache a sua soma.
sumn=1^infty 1(3 n-1)(3 n-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente a decomposição em frações parciais e propriedades de séries telescópicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série 1(3n-1)(3n-2) = A3n-1 + B3n-2 usando frações parciais. A ideia é escrever esse termo como a diferença de duas frações mais simples. Então, procuramos constantes e tais que:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 1 = A(3n-2) + B(3n-1) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(3 cdot 13 - 2) Rightarrow 1 = A(1 - 2) Rightarrow 1 = -A Rightarrow A = -1
Agora, vamos escolher valores de 1 = B(3 cdot 23 - 1) Rightarrow 1 = B(2 - 1) Rightarrow 1 = B Rightarrow B = 1 que simplifiquem a equação. Por exemplo, se (ou seja, ), a equação fica:
De maneira similar, se (ou seja, ):

Passo 4

Com os valores de 1(3n-1)(3n-2) = -13n-1 + 13n-2 e sumn=1^infty ( 13n-2 - 13n-1 ) encontrados, podemos reescrever o termo geral:
Portanto, a série original fica:

Passo 5

Agora, vamos observar que essa série é telescópica. Uma série telescópica é aquela em que muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos. Vamos ver isso na prática:
( 11 - 12 ) + ( 14 - 15 ) + ( 17 - 18 ) + dots
Vemos que, embora não haja um cancelamento completo como nas séries telescópicas clássicas, podemos analisar a convergência observando o comportamento dos termos.

Passo 6

Para determinar a convergência, notamos que os termos da série são positivos e tendem a zero à medida que aumenta. Além disso, a série é comparável a , que é conhecida por ser convergente (Teste da Série p, onde ).
Portanto, podemos afirmar que a série é convergente.

Passo 7

Agora, vamos calcular a soma da série. Utilizamos a decomposição em frações parciais que fizemos anteriormente:
sumn=1^infty ( 13n-2 - 13n-1 )
Essa soma pode ser relacionada à função digama ( psi(1 - x) - psi(x) = pi cot(pi x) ), que é a derivada logarítmica da função gama. Utilizando propriedades da função digama, especialmente a identidade:
psi(23) - psi(13) = pi cot(pi3)
Aplicando sumn=1^infty 1(3n-1)(3n-2) = pi3raiz3 , temos:
Sabemos que , então:

Resposta

A série é convergente e a sua soma é .

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