Determine se a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente, ache a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente a decomposição em frações parciais e propriedades de séries telescópicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série
usando frações parciais. A ideia é escrever esse termo como a diferença de duas frações mais simples. Então, procuramos constantes
e
tais que:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos escolher valores de
que simplifiquem a equação. Por exemplo, se
(ou seja,
), a equação fica:
De maneira similar, se
(ou seja,
):
Passo 4
Com os valores de
e
encontrados, podemos reescrever o termo geral:
Portanto, a série original fica:
Passo 5
Agora, vamos observar que essa série é telescópica. Uma série telescópica é aquela em que muitos termos se cancelam quando somamos os termos consecutivos. Vamos ver isso na prática:
Vemos que, embora não haja um cancelamento completo como nas séries telescópicas clássicas, podemos analisar a convergência observando o comportamento dos termos.
Passo 6
Para determinar a convergência, notamos que os termos da série são positivos e tendem a zero à medida que
aumenta. Além disso, a série é comparável a
, que é conhecida por ser convergente (Teste da Série p, onde
).
Portanto, podemos afirmar que a série
é convergente.
Passo 7
Agora, vamos calcular a soma da série. Utilizamos a decomposição em frações parciais que fizemos anteriormente:
Essa soma pode ser relacionada à função digama (
), que é a derivada logarítmica da função gama. Utilizando propriedades da função digama, especialmente a identidade:
Aplicando
, temos:
Sabemos que
, então:
Resposta
A série é convergente e a sua soma é
.