Determine se a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente, ache a sua soma.
sumn=1^infty(34)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série sumn=1^infty(34)^n vai até o infinito ou se ela converge para um número específico. Para isso, vamos usar o conceito de séries geométricas e a fórmula da soma de uma série infinita geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma sumn=0^inftyar^n onde:
- sumn=1^infty(34)^n = (34) + (34)^2 + (34)^3 + dots é o primeiro termo,
- é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, a série começa em , então podemos reescrever como Aqui, o primeiro termo e a razão .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão é menor que 1, ou seja, . No nosso caso, , e . Então, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, podemos encontrar a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Substituindo os valores que temos:
-
-

Passo 5

Vamos calcular:
S = 341 - 34 = 3414 = 34 times 41 = 3

Resposta

A série é convergente e a sua soma é 3.

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