Determine se a série é convergente ou divergente. Se a série for convergente, ache a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
vai até o infinito ou se ela converge para um número específico. Para isso, vamos usar o conceito de séries geométricas e a fórmula da soma de uma série infinita geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se essa série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma
onde:
- é o primeiro termo,
- é a razão comum entre os termos.
-
-
No nosso caso, a série começa em
, então podemos reescrever como
Aqui, o primeiro termo
e a razão
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão
é menor que 1, ou seja,
. No nosso caso,
, e
. Então, a série converge.
Passo 4
Como a série converge, podemos encontrar a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Substituindo os valores que temos:
-
-
Passo 5
Vamos calcular:
Resposta
A série é convergente e a sua soma é 3.