Use o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge. Caso o teste seja inconclusivo, então diga.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste da raiz para descobrir se a série infinita
converge ou diverge. O teste da raiz é uma ferramenta que nos ajuda a determinar isso analisando o limite da raiz enésima do termo geral da série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
O teste da raiz envolve calcular o limite:
Se
, a série converge; se
, a série diverge; e se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos calcular esse limite:
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão dentro do limite. Dividimos o numerador e o denominador por
:
À medida que
vai para o infinito, os termos
e
tendem a zero. Então:
Passo 5
Agora, comparamos o valor de
com 1:
Resposta
Como
, pelo teste da raiz, a série diverge.