Use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge. Caso o teste seja inconclusivo, então diga.
sumn=1^infty nn^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma série infinita: sumn=1^infty nn^2+1. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, tem uma soma finita) ou diverge (não tem soma finita). Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta da análise de séries na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Ele nos diz para calcular o limite da razão entre o termo geral da série no próximo passo e o termo atual. Ou seja, calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge. Se L > 1, ela diverge. E se L = 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva, ou seja, é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identificamos an = nn^2+1. Então, temos:
an+1 = n+1(n+1)^2+1
Agora, calculamos a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
an+1an

Passo 4

Simplificando a expressão:
n+1n = 1 + 1n (n+1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 1 + 1 = n^2 + 2n + 2
Então,
an+1an = (1 + 1n) cdot n^2+1n^2+2n+2

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty (1 + 1n) cdot n^2+1n^2+2n+2
Dividindo numerador e denominador por n^2:
L = limn to infty (1 + 1n) cdot 1 + 1n^21 + 2n + 2n^2 = (1 + 0) cdot 1 + 01 + 0 + 0 = 1 cdot 1 = 1

Resposta

Como o limite L = 1, o Teste da Razão é inconclusivo para determinar se a série sumn=1^infty nn^2+1 converge ou diverge. Precisaríamos usar outro teste para chegar a uma conclusão definitiva.

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