Use o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge. Caso o teste seja inconclusivo, então diga.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma série infinita: . Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, tem uma soma finita) ou diverge (não tem soma finita). Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta da análise de séries na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Ele nos diz para calcular o limite da razão entre o termo geral da série no próximo passo e o termo atual. Ou seja, calculamos:
Se L < 1, a série converge. Se L > 1, ela diverge. E se L = 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva, ou seja, é inconclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identificamos an = nn^2+1. Então, temos:
an+1 = n+1(n+1)^2+1
Agora, calculamos a razão $ \frac{a_{n+1}}{a_n} $:
Como o limite L = 1, o Teste da Razão é inconclusivo para determinar se a série sumn=1^infty nn^2+1 converge ou diverge. Precisaríamos usar outro teste para chegar a uma conclusão definitiva.