Determine se a série é convergente ou divergente. sumn=0^infty (-10)^n/n!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita da forma . O conteúdo que vamos precisar aqui é sobre séries infinitas e, especialmente, os critérios de convergência de séries. Vamos usar o teste de razão para determinar se essa série é convergente ou divergente.

Passo 2

O teste de razão funciona assim: para termos gerais da série, calculamos o limite . Se , a série converge. Se , a série diverge. Se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar na nossa série. Aqui, .

Passo 4

Agora, vamos calcular an+1an = (-10)^n+1(n+1)! (-10)^nn! = (-10)^n+1 cdot n! (-10)^n cdot (n+1)! = -10 cdot n! (n+1) cdot n! = -10 n+1 :
| an+1an | = 10n+1
A gente se interessa pelo valor absoluto, então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite desse valor quando L = limn to infty 10n+1 = 0 tende ao infinito:

Passo 6

Como , pelo teste de razão, concluímos que a série é convergente.

Resposta

A série é convergente.

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