Use o teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a série
e queremos descobrir se ela converge ou diverge usando o Teste da Integral. Esse teste basicamente compara a soma infinita com uma integral para ver se ambas convergem ou divergem. Então, vamos precisar conhecer a função contínua, positiva e decrescente relacionada à nossa série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está na nossa série. Aqui, a função é
. Para aplicar o Teste da Integral, precisamos garantir que essa função seja contínua, positiva e decrescente para
, o que ela é.
Passo 3
Agora, vamos transformar a série em uma integral. Em vez de somar termos de 1 a infinito, vamos integrar a função
de 1 a infinito:
Passo 4
Vamos calcular essa integral. Sabemos que a integral de
é
, onde
é uma constante. No nosso caso,
, então
.
Passo 5
Aplicando a fórmula, temos:
Agora, avaliamos essa antiderivada de 1 a infinito.
Passo 6
Vamos calcular os limites:
Sabemos que
tende a
quando
vai para infinito.
Passo 7
Substituindo os limites:
Esse valor é finito, ou seja, a integral converge.
Passo 8
Segundo o Teste da Integral, se a integral correspondente converge, então a série também converge.
Resposta
A série
converge.
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