Use o teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente. sumn=1^infty 1n^2+4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a série e queremos descobrir se ela converge ou diverge usando o Teste da Integral. Esse teste basicamente compara a soma infinita com uma integral para ver se ambas convergem ou divergem. Então, vamos precisar conhecer a função contínua, positiva e decrescente relacionada à nossa série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está na nossa série. Aqui, a função é . Para aplicar o Teste da Integral, precisamos garantir que essa função seja contínua, positiva e decrescente para , o que ela é.

Passo 3

Agora, vamos transformar a série em uma integral. Em vez de somar termos de 1 a infinito, vamos integrar a função integral1^infty 1x^2+4 , dx de 1 a infinito:

Passo 4

Vamos calcular essa integral. Sabemos que a integral de é , onde é uma constante. No nosso caso, , então .

Passo 5

Aplicando a fórmula, temos:
integral 1x^2+4 , dx = 12 tan^-1(x2) + C
Agora, avaliamos essa antiderivada de 1 a infinito.

Passo 6

Vamos calcular os limites:
limb to infty [ 12 tan^-1(b2) - 12 tan^-1(12) ]
Sabemos que tende a quando vai para infinito.

Passo 7

Substituindo os limites:
12 (pi2) - 12 tan^-1(12) = pi4 - 12 tan^-1(12)
Esse valor é finito, ou seja, a integral converge.

Passo 8

Segundo o Teste da Integral, se a integral correspondente converge, então a série também converge.

Resposta

A série converge.

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