Encontre a série de MacLaurin de usando a definição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a série de MacLaurin da função usando a definição. Série de MacLaurin é basicamente uma expansão em série de potências centrada em . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de avaliadas em e usar a fórmula da série de MacLaurin.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série de MacLaurin para uma função :
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Vamos começar calculando as primeiras derivadas de e avaliá-las em .
A primeira derivada de é:
Avaliando em :

Passo 4

Calculando a segunda derivada:
Avaliando em :

Passo 5

Terceira derivada:
Simplificando:

Passo 6

Quarta derivada:
áã
Observamos que as derivadas ímpares avaliam-se em valores não nulos e as derivadas pares são zero.

Passo 7

Parece que há um padrão! As derivadas ímpares de ordem são de fato não nulas e seguem a sequência de para ímpar, e zero para par.
Isso nos ajuda a escrever a série de MacLaurin como:

Resposta

A série de MacLaurin de é:

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