Encontre a série de MacLaurin de
usando a definição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a série de MacLaurin da função
usando a definição. Série de MacLaurin é basicamente uma expansão em série de potências centrada em
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de
avaliadas em
e usar a fórmula da série de MacLaurin.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série de MacLaurin para uma função
:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Vamos começar calculando as primeiras derivadas de
e avaliá-las em
.
A primeira derivada de
é:
Avaliando em
:
Passo 4
Calculando a segunda derivada:
Avaliando em
:
Passo 5
Terceira derivada:
Simplificando:
Passo 6
Quarta derivada:
Observamos que as derivadas ímpares avaliam-se em valores não nulos e as derivadas pares são zero.
Passo 7
Parece que há um padrão! As derivadas ímpares de ordem
são de fato não nulas e seguem a sequência de
para
ímpar, e zero para
par.
Isso nos ajuda a escrever a série de MacLaurin como:
Resposta
A série de MacLaurin de
é:
Exercícios relacionados
Determine se a série é convergente ou divergente.
Use o teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Analisar as funções segundo seus domínios, pontos críticos, regiões de crescimento ou decrescimento, aceleração ou desaceleração, e a existência ou não de retas assímptotas. Esboçar os gráficos.
Fazer as otimizações:
b. Um marinheiro encontra-se num bote a remos a 9 quilômetros de distância de uma praia retilínea. O homem deseja atingir um ponto em terra localizado a 15 quilômetros de distância do ponto da praia mais próximo do bote no menor tempo possível. Considerando que a velocidade do homem ao remar é de 4 quilômetros horários, e ao caminhar é de 5 quilômetros horários, determinar o local de desembarque para que o destino seja atingido no menor tempo possível.
b. Um marinheiro encontra-se num bote a remos a 9 quilômetros de distância de uma praia retilínea. O homem deseja atingir um ponto em terra localizado a 15 quilômetros de distância do ponto da praia mais próximo do bote no menor tempo possível. Considerando que a velocidade do homem ao remar é de 4 quilômetros horários, e ao caminhar é de 5 quilômetros horários, determinar o local de desembarque para que o destino seja atingido no menor tempo possível.