Encontre a série de MacLaurin de
usando a definição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a série de MacLaurin da função
usando a definição. Série de MacLaurin é basicamente uma expansão em série de potências centrada em
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas de
avaliadas em
e usar a fórmula da série de MacLaurin.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série de MacLaurin para uma função
:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Vamos começar calculando as primeiras derivadas de
e avaliá-las em
.
A primeira derivada de
é:
Avaliando em
:
Passo 4
Calculando a segunda derivada:
Avaliando em
:
Passo 5
Terceira derivada:
Simplificando:
Passo 6
Quarta derivada:
Observamos que as derivadas ímpares avaliam-se em valores não nulos e as derivadas pares são zero.
Passo 7
Parece que há um padrão! As derivadas ímpares de ordem
são de fato não nulas e seguem a sequência de
para
ímpar, e zero para
par.
Isso nos ajuda a escrever a série de MacLaurin como:
Resposta
A série de MacLaurin de
é: