Encontre a série de MacLaurin de
usando a definição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a série de MacLaurin da função
. MacLaurin é um tipo especial de série de Taylor que expande a função em torno de
. Para isso, vamos precisar lembrar da definição da série de MacLaurin e como calcular as derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da série de MacLaurin. Ela é dada por:
Onde:
-
é a n-ésima derivada de avaliada em 0. -
é o fatorial de . -
é elevado à potência .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. Sabemos que a derivada de
é sempre
, ou seja:
Avaliar essa derivada em
nos dá:
Isso simplifica a nossa série, pois todas as derivadas de ordem
em 0 são iguais a 1.
Passo 4
Substituindo
na fórmula da série de MacLaurin, ficamos com:
Resposta
A série de MacLaurin de
é:
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