Encontre a série de MacLaurin de usando a definição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a série de MacLaurin da função . MacLaurin é um tipo especial de série de Taylor que expande a função em torno de . Para isso, vamos precisar lembrar da definição da série de MacLaurin e como calcular as derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da série de MacLaurin. Ela é dada por:
Onde:
  • é a n-ésima derivada de avaliada em 0.
  • é o fatorial de .
  • é elevado à potência .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de . Sabemos que a derivada de é sempre , ou seja:
Avaliar essa derivada em nos dá:
Isso simplifica a nossa série, pois todas as derivadas de ordem em 0 são iguais a 1.

Passo 4

Substituindo na fórmula da série de MacLaurin, ficamos com:

Resposta

A série de MacLaurin de é:

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