Seja . Calcule as duas integrais do enunciado do Teorema de Green, onde é a região triangular de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e uma região triangular com vértices em , e . O objetivo é calcular as duas integrais que aparecem no Teorema de Green. Vamos usar cálculo vetorial para isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green nos diz. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor da fronteira de uma região com uma integral dupla sobre a região em si. Matematicamente, ele é dado por:
Aqui, , então precisamos identificar e do nosso campo vetorial.

Passo 3

No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a integral dupla:

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green para a integral dupla:
Isso significa que a integral dupla é simplesmente 3 vezes a área da região .

Passo 5

Vamos calcular a área do triângulo com vértices em , e . A fórmula da área de um triângulo com base e altura é:
Á
Aqui, a base (de a ) e a altura (de a ). Então:
Á

Passo 6

Agora, voltando à integral dupla:
Então, a integral dupla é .

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral de linha ao redor da fronteira de , ou seja, . Pelo Teorema de Green, já sabemos que essa integral será igual à integral dupla que calculamos, desde que seja uma região fechada e simples, o que é o caso aqui.

Passo 8

Portanto, temos:

Resposta

As duas integrais do Teorema de Green são iguais a .

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Um revendedor de chapas e perfis metálicos recebe da usina siderúrgica determinado tipo de chapa em rolos padronizados de 0,80 m e 1,50 m de largura. Os clientes compram na largura que necessitam e o revendedor corta as chapas conforme o pedido.
Para a próxima semana, recebeu três pedidos com as seguintes especificações:
PEDIDO LARGURA (m) COMPRIMENTO (m)
1 0,40 10
2 0,60 30
3 0,70 20
O problema do revendedor é programar o corte das chapas originais de modo a atender aos três pedidos, com o mínimo desperdício de aparas e sobras na largura das chapas. As dimensões de comprimento não criam grandes inconvenientes, porque as chapas podem ser emendadas para outras aplicações.
Determine se a série dada converge ou diverge:
(a) ;
Para , determine se a série converge ou diverge. Justifique!
Seja e o disco de centro e raio 1. Calcule
para orientada no sentido anti-horário.