Seja
. Calcule as duas integrais do enunciado do Teorema de Green, onde
é a região triangular de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e uma região triangular
com vértices em
,
e
. O objetivo é calcular as duas integrais que aparecem no Teorema de Green. Vamos usar cálculo vetorial para isso!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Green nos diz. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor da fronteira de uma região com uma integral dupla sobre a região em si. Matematicamente, ele é dado por:
Aqui,
, então precisamos identificar
e
do nosso campo vetorial.
Passo 3
No nosso caso, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a integral dupla:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na expressão do Teorema de Green para a integral dupla:
Isso significa que a integral dupla é simplesmente 3 vezes a área da região
.
Passo 5
Vamos calcular a área do triângulo
com vértices em
,
e
. A fórmula da área de um triângulo com base
e altura
é:
Aqui, a base
(de
a
) e a altura
(de
a
). Então:
Passo 6
Agora, voltando à integral dupla:
Então, a integral dupla é
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral de linha ao redor da fronteira de
, ou seja,
. Pelo Teorema de Green, já sabemos que essa integral será igual à integral dupla que calculamos, desde que
seja uma região fechada e simples, o que é o caso aqui.
Passo 8
Portanto, temos:
Resposta
As duas integrais do Teorema de Green são iguais a
.
Exercícios relacionados
Corte de Chapas
Um revendedor de chapas e perfis metálicos recebe da usina siderúrgica determinado tipo de chapa em rolos padronizados de 0,80 m e 1,50 m de largura. Os clientes compram na largura que necessitam e o revendedor corta as chapas conforme o pedido.
Para a próxima semana, recebeu três pedidos com as seguintes especificações:
Um revendedor de chapas e perfis metálicos recebe da usina siderúrgica determinado tipo de chapa em rolos padronizados de 0,80 m e 1,50 m de largura. Os clientes compram na largura que necessitam e o revendedor corta as chapas conforme o pedido.
Para a próxima semana, recebeu três pedidos com as seguintes especificações:
PEDIDO | LARGURA (m) | COMPRIMENTO (m) |
---|---|---|
1 | 0,40 | 10 |
2 | 0,60 | 30 |
3 | 0,70 | 20 |
O problema do revendedor é programar o corte das chapas originais de modo a atender aos três pedidos, com o mínimo desperdício de aparas e sobras na largura das chapas. As dimensões de comprimento não criam grandes inconvenientes, porque as chapas podem ser emendadas para outras aplicações.
Determine se a série dada converge ou diverge:
(a) ;
(a)
Para
, determine se a série
converge ou diverge. Justifique!
Seja
e
o disco de centro
e raio 1. Calcule
para
orientada no sentido anti-horário.