Determine se a série dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular a soma dela. Vamos usar conceitos de séries geométricas, que é um tópico de cálculo de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série é uma série geométrica, pois cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a razão e o primeiro termo da série. Observando a série:
A razão é o fator pelo qual multiplicamos para chegar de um termo ao próximo. Aqui, cada termo é vezes o termo anterior, então:
Passo 4
Para saber se a série converge, vamos usar o teste da razão para séries geométricas. A série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, .
No nosso caso:
Como , a série converge.
Passo 5
Como a série é convergente, podemos calcular a sua soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: