Determine a série de Fourier de f no intervalo indicado.
f(x) = { 0, -pi < x < 0; sen(x), 0 <= x < pi }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função definida no intervalo . A função é zero de a e igual a de a . Para isso, vamos usar os conceitos básicos das séries de Fourier, que envolvem encontrar os coeficientes , e que representam a função como uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Isso ajuda a simplificar os cálculos. Uma função é par se e ímpar se .
No nosso caso:
  • Para ,
  • Para ,
Vamos verificar:
se e
Como , mas não é exatamente , então a função não é ímpar nem par. Então, teremos que calcular todos os coeficientes.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no intervalo. A fórmula é:
Como de a , a integral só precisa ser calculada de a :

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes , que multiplicam os cossenos na série de Fourier:
Novamente, como de a , integramos apenas de a :
Usando a identidade trigonométrica:
Então,
Ambas as integrais de de a são zero, pois e , resultando em termos que cancelam. Portanto, para todos os .

Passo 5

Por último, vamos calcular os coeficientes , que multiplicam os senos na série de Fourier:
Mais uma vez, consideramos apenas de a :
Usando a identidade trigonométrica:
Então,
Integrando:
A menos que , onde temos:
Portanto, é diferente de zero apenas quando :
E para todos os outros , .

Resposta

A série de Fourier de no intervalo é dada por:

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