Determine a série de Fourier de
no intervalo indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função
definida no intervalo
. A função é zero de
a
e igual a
de
a
. Para isso, vamos usar os conceitos básicos das séries de Fourier, que envolvem encontrar os coeficientes
,
e
que representam a função como uma soma de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Isso ajuda a simplificar os cálculos. Uma função
é par se
e ímpar se
.
No nosso caso:
- Para
, - Para
,
Vamos verificar:
se
e
Como
, mas
não é exatamente
, então a função
não é ímpar nem par. Então, teremos que calcular todos os coeficientes.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo. A fórmula é:
Como
de
a
, a integral só precisa ser calculada de
a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que multiplicam os cossenos na série de Fourier:
Novamente, como
de
a
, integramos apenas de
a
:
Usando a identidade trigonométrica:
Então,
Ambas as integrais de
de
a
são zero, pois
e
, resultando em termos que cancelam. Portanto,
para todos os
.
Passo 5
Por último, vamos calcular os coeficientes
, que multiplicam os senos na série de Fourier:
Mais uma vez, consideramos apenas de
a
:
Usando a identidade trigonométrica:
Então,
Integrando:
A menos que
, onde temos:
Portanto,
é diferente de zero apenas quando
:
E para todos os outros
,
.
Resposta
A série de Fourier de
no intervalo
é dada por: