Seja S o sólido cujo interior está dentro da esfera x^2+y^2+z^2=2 e fora do cilindro x^2+y^2=1. Sabendo que a densidade de massa de um ponto em S é igual ao inverso de sua distância à origem, calcule a massa de S.
Sugestão: Caso seja necessário, use a fórmula integral cossec x d x=-ln |cossec x+cotg x|+C.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um sólido que está dentro da esfera e fora do cilindro . A massa desse sólido é calculada considerando que a densidade em cada ponto é o inverso da distância desse ponto até a origem. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo em coordenadas cilíndricas ou esféricas e integrar a densidade sobre o volume de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A esfera tem raio , e o cilindro tem raio 1 e se estende infinitamente ao longo do eixo . Como queremos a região dentro da esfera e fora do cilindro, estamos falando de uma “rosquinha” esférica.

Passo 3

Agora, vamos pensar na densidade. A densidade rho(x, y, z) = 1raizx^2 + y^2 + z^2 em cada ponto é o inverso da distância desse ponto até a origem. A distância de um ponto até a origem é . Então, a densidade é:

Passo 4

Para calcular a massa, precisamos integrar a densidade sobre o volume de x = r sin phi cos theta y = r sin phi sin theta z = r cos phi . Em coordenadas esféricas, isso fica mais fácil. As coordenadas esféricas são dadas por:
dV = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 5

Vamos determinar os limites de integração. O raio vai de 1 (já que estamos fora do cilindro , que em coordenadas esféricas corresponde a ) até , que é o raio da esfera.
Para , que é o ângulo com o eixo , ele vai de 0 a , e , o ângulo no plano , vai de 0 a .

Passo 6

Antes de configurar a integral, precisamos relacionar r >= 1sin phi e para garantir que estamos fora do cilindro. A condição nos dá:
Então, nosso limite inferior para é , mas como o raio máximo é , precisamos garantir que . Isso acontece quando , ou seja, varia de a .

Passo 7

Agora, podemos escrever a integral para a massa M = integral0^2pi integralpi4^3pi4 integral1sin phi^raiz2 1r cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta :
M = integral0^2pi integralpi4^3pi4 integral1sin phi^raiz2 r sin phi , dr , dphi , dtheta
Simplificando :

Passo 8

Vamos resolver a integral em integral1sin phi^raiz2 r , dr = [ r^22 ]1sin phi^raiz2 = (raiz2)^22 - ( 1sin phi )^22 = 22 - 12 sin^2 phi = 1 - 12 sin^2 phi primeiro:

Passo 9

Substituindo de volta na integral, temos:
M = integral0^2pi integralpi4^3pi4 (1 - 12 sin^2 phi) sin phi , dphi , dtheta
Distribuindo M = integral0^2pi integralpi4^3pi4 ( sin phi - 12 sin phi ) dphi , dtheta :

Passo 10

Agora, vamos integrar em integralpi4^3pi4 sin phi , dphi = [ -cos phi ]pi4^3pi4 = -cos ( 3pi4 ) + cos ( pi4 ) = -( -raiz22 ) + raiz22 = raiz2 :
integralpi4^3pi4 12 sin phi , dphi = 12 integralpi4^3pi4 csc phi , dphi = 12 [ ln | tan ( phi2 ) | ]pi4^3pi4 = 12 ( ln(1) - ln ( tan ( pi8 ) ) )
Para a segunda parte:
= -12 ln (raiz2 - 1)
Sabendo que e :

Passo 11

Agora, juntando tudo:
M = integral0^2pi ( raiz2 - 12 ln (raiz2 - 1) ) dtheta = ( raiz2 - 12 ln (raiz2 - 1) ) integral0^2pi dtheta
= ( raiz2 - 12 ln (raiz2 - 1) ) cdot 2pi = 2pi raiz2 - pi ln (raiz2 - 1)

Resposta

A massa do sólido M = 2pi raiz2 - pi ln (raiz2 - 1) é:

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