Seja o sólido cujo interior está dentro da esfera e fora do cilindro . Sabendo que a densidade de massa de um ponto em é igual ao inverso de sua distância à origem, calcule a massa de .
Sugestão: Caso seja necessário, use a fórmula .
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um sólido que está dentro da esfera e fora do cilindro . A massa desse sólido é calculada considerando que a densidade em cada ponto é o inverso da distância desse ponto até a origem. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo em coordenadas cilíndricas ou esféricas e integrar a densidade sobre o volume de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . A esfera tem raio , e o cilindro tem raio 1 e se estende infinitamente ao longo do eixo . Como queremos a região dentro da esfera e fora do cilindro, estamos falando de uma “rosquinha” esférica.
Passo 3
Agora, vamos pensar na densidade. A densidade em cada ponto é o inverso da distância desse ponto até a origem. A distância de um ponto até a origem é . Então, a densidade é:
Passo 4
Para calcular a massa, precisamos integrar a densidade sobre o volume de . Em coordenadas esféricas, isso fica mais fácil. As coordenadas esféricas são dadas por:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 5
Vamos determinar os limites de integração. O raio vai de 1 (já que estamos fora do cilindro , que em coordenadas esféricas corresponde a ) até , que é o raio da esfera.
Para , que é o ângulo com o eixo , ele vai de 0 a , e , o ângulo no plano , vai de 0 a .
Passo 6
Antes de configurar a integral, precisamos relacionar r >= 1sin phi e para garantir que estamos fora do cilindro. A condição nos dá:
Então, nosso limite inferior para é , mas como o raio máximo é , precisamos garantir que . Isso acontece quando , ou seja, varia de a .
Passo 7
Agora, podemos escrever a integral para a massa M = integral0^2pi integralpi4^3pi4 integral1sin phi^raiz2 1r cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta :
M = integral0^2pi integralpi4^3pi4 integral1sin phi^raiz2 r sin phi , dr , dphi , dtheta
Simplificando :
Passo 8
Vamos resolver a integral em integral1sin phi^raiz2 r , dr = [ r^22 ]1sin phi^raiz2 = (raiz2)^22 - ( 1sin phi )^22 = 22 - 12 sin^2 phi = 1 - 12 sin^2 phi primeiro:
Passo 9
Substituindo de volta na integral, temos:
M = integral0^2pi integralpi4^3pi4 (1 - 12 sin^2 phi) sin phi , dphi , dtheta
Distribuindo M = integral0^2pi integralpi4^3pi4 ( sin phi - 12 sin phi ) dphi , dtheta :