Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial
F(x, y, z)=(ln x, ln (x y), ln (x y z)) Rpta: a)-x^2 i+3 x y j-x z k, y z, b)(1y,-1x, 1x), 1x+1y+1z

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o rotacional (também conhecido como curl) e o divergente (div) do campo vetorial . Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, onde estudamos como esses operadores nos ajudam a entender o comportamento dos campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o rotacional e o divergente usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de rot , F = nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z )i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x )j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )k . O rotacional de um campo vetorial partial Fzpartial y - partial Fypartial z = partialpartial y [ln(xyz)] - partialpartial z [ln(xy)] é dado por:
= xxyz + yxyz + zxyz - 0 = 1z + 1x + 1y - 0 = 1x + 1y + 1z
Vamos calcular cada componente:
  1. Componente partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = partialpartial z [ln x] - partialpartial x [ln(xyz)] :
= 0 - ( 1x + 1y + 1z ) = -( 1x + 1y + 1z )
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = partialpartial x [ln(xy)] - partialpartial y [ln x]
  1. Componente = 1x + 1y - 0 = 1x + 1y :
rot , F = ( 1x + 1y + 1z ) i - ( 1x + 1y + 1z ) j + ( 1x + 1y ) k
  1. Componente :
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de div , F = nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . O divergente de um campo vetorial div , F = 1x + 1y + 1z é dado por:
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:

Passo 4

Por fim, vamos verificar os resultados e organizar a resposta de acordo com o que foi pedido:
  • Rotacional de rot , F = ( 1x + 1y + 1z ) i - ( 1x + 1y + 1z ) j + ( 1x + 1y ) k :
div , F = 1x + 1y + 1z
  • Divergente de :

Resposta

A resposta final é:
a) , ;
b) , e .

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