Seja S(x) a série de Fourier obtida no item (a). Qual o valor (número real finito) de S(7) ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma série de Fourier chamada que foi definida no item (a) do exercício. O que você precisa fazer agora é encontrar o valor de , ou seja, substituir na série que foi determinada. Para isso, vamos precisar entender como é a expressão da série de Fourier .

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma série de Fourier é uma forma de representar funções periódicas usando senos e cossenos. A série geral tem a forma:
Aqui, , e são os coeficientes de Fourier que dependem da função original, e é o período da função.

Passo 3

Para encontrar , precisamos substituir na expressão da série. Então,

Passo 4

Agora, se conhecemos os coeficientes e , e o valor de , podemos calcular cada termo da série. Se a série converge, a soma infinitas desses termos resultará em um valor finito para .

Passo 5

Como o exercício pede para justificar o valor, além de substituir, precisamos garantir que a série realmente converge em . Isso geralmente depende das propriedades da função original, como ser contínua ou ter derivadas contínuas no ponto considerado.

Resposta

Portanto, para encontrar , substituímos na série de Fourier obtida no item (a) e calculamos a soma dos termos resultantes. O valor final de será um número real finito, conforme a convergência da série.

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