Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma. 1+0,4+0,16+0,064+cdots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente ver se essa série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular a soma dela. Pra resolver isso, a gente vai usar os conceitos de séries geométricas, verificar o critério de convergência e aplicar a fórmula da soma das séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se essa série é realmente uma série geométrica. Uma série geométrica é aquela onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante .
Olha só:
  • O segundo termo é , que é .
  • O terceiro termo é , que é .
  • O quarto termo é , que é .
Então, fica claro que a razão da série é .

Passo 3

Agora, pra saber se a série converge ou diverge, a gente verifica o valor absoluto da razão . A regra é:
  • Se , a série é convergente.
  • Se , a série é divergente.
No nosso caso, , e . Então, a série converge.

Passo 4

Como a série é convergente, a gente pode calcular a soma dela usando a fórmula da soma das séries geométricas infinitas:
S = a1 - r
Onde:
  • S = 11 - 0,4 = 10,6 = 53 approx 1,6667 é a soma da série,
  • é o primeiro termo da série,
  • é a razão.
Aqui, e . Então:

Resposta

A série geométrica é convergente e a soma dela é ou aproximadamente 1,6667.

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