Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente ver se essa série geométrica
é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também vai calcular a soma dela. Pra resolver isso, a gente vai usar os conceitos de séries geométricas, verificar o critério de convergência e aplicar a fórmula da soma das séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se essa série é realmente uma série geométrica. Uma série geométrica é aquela onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante
.
Olha só:
- O segundo termo é
, que é . - O terceiro termo é
, que é . - O quarto termo é
, que é .
Então, fica claro que a razão
da série é
.
Passo 3
Agora, pra saber se a série converge ou diverge, a gente verifica o valor absoluto da razão
. A regra é:
- Se
, a série é convergente. - Se
, a série é divergente.
No nosso caso,
, e
. Então, a série converge.
Passo 4
Como a série é convergente, a gente pode calcular a soma dela usando a fórmula da soma das séries geométricas infinitas:
Onde:
-
é a soma da série, -
é o primeiro termo da série, -
é a razão.
Aqui,
e
. Então:
Resposta
A série geométrica
é convergente e a soma dela é
ou aproximadamente 1,6667.