Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a
e o outro viaja para o oeste a
. A qual taxa a distância entre os carros está aumentando duas horas depois?
Passo 1
Beleza, temos dois carros que começam no mesmo ponto. Um vai pro sul a 30 km/h e o outro pro oeste a 72 km/h. Queremos saber a que velocidade a distância entre eles está aumentando depois de duas horas. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente taxas relacionadas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as posições dos carros depois de “t” horas.
- Carro A (Sul): Vai a 30 km/h, então depois de t horas, ele estará a
km do ponto de partida. - Carro B (Oeste): Vai a 72 km/h, então depois de t horas, ele estará a
km do ponto de partida.
Passo 3
A distância entre os dois carros forma um triângulo retângulo, onde a distância que queremos achar é a hipotenusa “s”. Usamos o Teorema de Pitágoras para relacionar as posições:
Substituindo
e
:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Para achar “s”, tiramos a raiz quadrada:
Passo 5
Agora, queremos saber a taxa de mudança da distância “s” em relaç��o ao tempo “t”, ou seja,
.
Derivando
em relação a “t”:
Resposta
A distância entre os carros está aumentando a uma taxa de 78 km/h duas horas depois.
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a) Quais teriam sido a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da bala no instante ?
Resposta: e
a) Quais teriam sido a velocidade, o módulo da velocidade e a aceleração da bala no instante
Resposta:
Usando substituição, prove que, para quaisquer números positivos
e
,