Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 30 km / h e o outro viaja para o oeste a 72 km / h. A qual taxa a distância entre os carros está aumentando duas horas depois?

Passo 1

Beleza, temos dois carros que começam no mesmo ponto. Um vai pro sul a 30 km/h e o outro pro oeste a 72 km/h. Queremos saber a que velocidade a distância entre eles está aumentando depois de duas horas. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente taxas relacionadas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as posições dos carros depois de “t” horas.
  • Carro A (Sul): Vai a 30 km/h, então depois de t horas, ele estará a km do ponto de partida.
  • Carro B (Oeste): Vai a 72 km/h, então depois de t horas, ele estará a km do ponto de partida.

Passo 3

A distância entre os dois carros forma um triângulo retângulo, onde a distância que queremos achar é a hipotenusa “s”. Usamos o Teorema de Pitágoras para relacionar as posições:
s^2 = x^2 + y^2
Substituindo s^2 = (72t)^2 + (30t)^2 e :

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
s^2 = 5184t^2 + 900t^2 = 6084t^2
Para achar “s”, tiramos a raiz quadrada:
s = raiz6084t^2 = 78t (já que a distância é positiva) áâé

Passo 5

Agora, queremos saber a taxa de mudança da distância “s” em relaç��o ao tempo “t”, ou seja, dsdt = 78 , km/h .
Derivando em relação a “t”:

Resposta

A distância entre os carros está aumentando a uma taxa de 78 km/h duas horas depois.

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