Determine se a série sumn=1^infty 1raizn^5+n^2 converge utilizando o teste de comparação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série sumn=1^infty 1raizn^5+n^2 converge usando o teste de comparação. Isso envolve entender séries infinitas e como compará-las para ver se somam a um valor finito. Vamos precisar conhecer o teste de comparação para séries e saber como simplificar expressões matemáticas para facilitar a comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: n^5 + n^2. Observando que, para valores grandes de n, o termo n^5 domina o n^2, então podemos dizer que n^5 + n^2 approx n^5. Assim, raizn^5 + n^2 approx raizn^5 = n^5/2.

Passo 3

Agora, nossa série original 1raizn^5+n^2 se aproxima de 1n^5/2. Portanto, podemos comparar nossa série com a série sumn=1^infty 1n^5/2.

Passo 4

Sabemos que a série sumn=1^infty 1n^p converge se p > 1. No nosso caso, p = 52 = 2,5, que é maior que 1. Então, a série sumn=1^infty 1n^5/2 converge.

Passo 5

Como 1raizn^5+n^2 <= 1n^5/2 para todo n >= 1, e a série sumn=1^infty 1n^5/2 converge, pelo teste de comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1raizn^5+n^2 converge.

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