Determine se a série converge utilizando o teste de comparação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série converge usando o teste de comparação. Isso envolve entender séries infinitas e como compará-las para ver se somam a um valor finito. Vamos precisar conhecer o teste de comparação para séries e saber como simplificar expressões matemáticas para facilitar a comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: . Observando que, para valores grandes de , o termo domina o , então podemos dizer que . Assim, .

Passo 3

Agora, nossa série original se aproxima de . Portanto, podemos comparar nossa série com a série .

Passo 4

Sabemos que a série converge se . No nosso caso, , que é maior que 1. Então, a série converge.

Passo 5

Como para todo , e a série converge, pelo teste de comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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