Determine se a série
converge utilizando o teste de comparação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série
converge usando o teste de comparação. Isso envolve entender séries infinitas e como compará-las para ver se somam a um valor finito. Vamos precisar conhecer o teste de comparação para séries e saber como simplificar expressões matemáticas para facilitar a comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Observando que, para valores grandes de
, o termo
domina o
, então podemos dizer que
. Assim,
.
Passo 3
Agora, nossa série original
se aproxima de
. Portanto, podemos comparar nossa série com a série
.
Passo 4
Sabemos que a série
converge se
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Então, a série
converge.
Passo 5
Como
para todo
, e a série
converge, pelo teste de comparação, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
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.
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é independente do caminho, o que poderá dizer sobre
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