Se F = P i + Q j, como é que você testa para determinar se F é conservativo? E se F for um campo vetorial em R^3 ?

Passo 1

Ok, vamos lá! Você quer saber como descobrir se um campo vetorial é conservativo, e também como verificar isso se o campo estiver em R^3. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar, chamada potencial, cuja derivada é o campo vetorial. Isso significa que o trabalho realizado pelo campo ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho em si.

Passo 3

Para testar se é conservativo no plano R^2, usamos uma condição baseada nas derivadas parciais dos componentes do campo. A condição é:
Se essa igualdade for verdadeira em toda a região considerada, então o campo F é conservativo.

Passo 4

Vamos aplicar essa condição passo a passo:
  1. Identifique as funções P(x, y) e Q(x, y) que compõem o campo vetorial F.
  2. Calcule a derivada parcial de Q em relação a x: .
  3. Calcule a derivada parcial de P em relação a y: .
  4. Compare os resultados das duas derivadas. Se forem iguais, o campo é conservativo.

Passo 5

Agora, se o campo vetorial F está em R^3, ou seja, , a condição para ser conservativo é um pouco mais complexa. Nesse caso, usamos o rotacional do campo vetorial.
A condição é:
Isso significa que todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero.

Passo 6

Para verificar se , siga estes passos:
  1. Escreva o rotacional de F:
  1. Calcule cada uma das derivadas parciais envolvidas.
  2. Verifique se todas as três componentes resultantes são iguais a zero:
Se todas essas igualdades forem verdadeiras, então o campo F é conservativo em R^3.

Resposta

Para determinar se o campo vetorial é conservativo, verifica-se se . Se o campo estiver em R^3, calcula-se o rotacional e verifica-se se todas as componentes são zero. Se essas condições forem satisfeitas, então F é conservativo.

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