, como é que você testa para determinar se
é conservativo? E se
for um campo vetorial
?
Passo 1
Ok, vamos lá! Você quer saber como descobrir se um campo vetorial
é conservativo, e também como verificar isso se o campo estiver em
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar, chamada potencial, cuja derivada é o campo vetorial. Isso significa que o trabalho realizado pelo campo ao longo de qualquer caminho depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho em si.
Passo 3
Para testar se
é conservativo no plano
, usamos uma condição baseada nas derivadas parciais dos componentes do campo. A condição é:
Se essa igualdade for verdadeira em toda a região considerada, então o campo
é conservativo.
Passo 4
Vamos aplicar essa condição passo a passo:
- Identifique as funções
e que compõem o campo vetorial . - Calcule a derivada parcial de
em relação a : . - Calcule a derivada parcial de
em relação a : . - Compare os resultados das duas derivadas. Se forem iguais, o campo é conservativo.
Passo 5
Agora, se o campo vetorial
está em
, ou seja,
, a condição para ser conservativo é um pouco mais complexa. Nesse caso, usamos o rotacional do campo vetorial.
A condição é:
Isso significa que todas as componentes do rotacional devem ser iguais a zero.
Passo 6
Para verificar se
, siga estes passos:
- Escreva o rotacional de
:
- Calcule cada uma das derivadas parciais envolvidas.
- Verifique se todas as três componentes resultantes são iguais a zero:
-
Se todas essas igualdades forem verdadeiras, então o campo
é conservativo em
.
Resposta
Para determinar se o campo vetorial
é conservativo, verifica-se se
. Se o campo estiver em
, calcula-se o rotacional
e verifica-se se todas as componentes são zero. Se essas condições forem satisfeitas, então
é conservativo.
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.
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Resolva
.