Se você souber que é independente do caminho, o que poderá dizer sobre ?

Passo 1

Então, o enunciado da questão diz que a integral de linha é independente do caminho escolhido. Isso significa que o valor da integral só depende dos pontos inicial e final, não de como a gente vai de um ponto ao outro. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para descobrir o que isso nos diz sobre o campo .

Passo 2

Quando uma integral de linha é independente do caminho, isso indica que o campo vetorial é conservativo. Mas o que isso significa? Básicamente, um campo conservativo é aquele que pode ser representado como o gradiente de uma função escalar. Em outras palavras, existe uma função tal que .

Passo 3

Para entender melhor, vamos lembrar que se , então a integral de ao longo de qualquer caminho de um ponto a um ponto é apenas . Isso confirma que a integral não depende do caminho, mas só dos pontos finais, como o enunciado afirma.

Passo 4

Além disso, campos conservativos têm algumas propriedades importantes:
  • Rotacional Nulo: O rotacional de é zero, ou seja, .
  • Existência de Potencial: Como mencionamos, existe uma função potencial tal que .
Essas propriedades são fundamentais para reconhecer e trabalhar com campos conservativos em problemas de física e engenharia.

Resposta

O campo é conservativo, ou seja, existe uma função potencial tal que .

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Calcule os seguintes valores:
Use o teste da comparação para verificar a convergência de .
Determine se a série converge utilizando o teste de comparação.