Se você souber que
é independente do caminho, o que poderá dizer sobre
?
Passo 1
Então, o enunciado da questão diz que a integral de linha
é independente do caminho escolhido. Isso significa que o valor da integral só depende dos pontos inicial e final, não de como a gente vai de um ponto ao outro. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para descobrir o que isso nos diz sobre o campo
.
Passo 2
Quando uma integral de linha é independente do caminho, isso indica que o campo vetorial
é conservativo. Mas o que isso significa? Básicamente, um campo conservativo é aquele que pode ser representado como o gradiente de uma função escalar. Em outras palavras, existe uma função
tal que
.
Passo 3
Para entender melhor, vamos lembrar que se
, então a integral de
ao longo de qualquer caminho de um ponto
a um ponto
é apenas
. Isso confirma que a integral não depende do caminho, mas só dos pontos finais, como o enunciado afirma.
Passo 4
Além disso, campos conservativos têm algumas propriedades importantes:
- Rotacional Nulo: O rotacional de
é zero, ou seja, . - Existência de Potencial: Como mencionamos, existe uma função potencial
tal que .
Essas propriedades são fundamentais para reconhecer e trabalhar com campos conservativos em problemas de física e engenharia.
Resposta
O campo
é conservativo, ou seja, existe uma função potencial
tal que
.
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Aplique o teste da comparação para determinar a convergência da série
.
Calcule os seguintes valores:
Use o teste da comparação para verificar a convergência de
.
Determine se a série
converge utilizando o teste de comparação.