Use o teste da comparação para verificar a convergência de
.
Passo 1
Beleza, então temos uma série infinita para analisar:
. Nosso objetivo é verificar se essa série converge ou diverge usando o teste da comparação. Para isso, vamos precisar comparar nossa série com uma outra série que já sabemos se ela converge ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Observando o denominador, vemos que, para valores grandes de
, o termo dominante é
. Isso significa que, à medida que
cresce,
se torna muito maior que
, então
.
Passo 3
Com base nisso, podemos comparar
com
. A série
é uma série
, onde
. Sabemos que uma série
converge se
, o que é o caso aqui.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teste da comparação. Precisamos verificar se
para
suficientemente grande. De fato:
Como
converge e
para todo
, pela comparação direta, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da comparação.
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Se você souber que
é independente do caminho, o que poderá dizer sobre
?
Aplique o teste da comparação para determinar a convergência da série
.
Determine se a série
converge utilizando o teste de comparação.