Encontre o limite ou demonstre que não existe.
lim x infty raizx+3 x^24 x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com limites de funções quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes e termos de maior grau em polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que pode ser fatorado para facilitar a análise do comportamento quando cresce sem limites.

Passo 3

Vamos fatorar raizx + 3x^2 = raizx^2(3 + 1x) = xraiz3 + 1x dentro da raiz:
Aqui, tiramos de dentro da raiz, lembrando que para .

Passo 4

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original do limite:
raizx + 3x^24x + 1 = xraiz3 + 1x4x + 1

Passo 5

Podemos dividir o numerador e o denominador por xraiz3 + 1x4x + 1 = raiz3 + 1x4 + 1x para simplificar ainda mais:
Essa divisão nos ajuda a identificar os termos que dominam quando tende ao infinito.

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento dos termos quando limx to infty raiz3 + 1x4 + 1x = raiz3 + 04 + 0 = raiz34 vai para o infinito:
Porque tende a zero quando cresce sem limites.

Resposta

lim x infty raizx+3 x^24 x+1 = raiz34

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