Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique: sumn=1^infty(-1)^n 3^1n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série sumn=1^infty(-1)^n 3^1n converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos aqui: sumn=1^infty(-1)^n 3^1n. Essa é uma série alternada porque os termos têm sinais que mudam de positivo para negativo e vice-versa devido ao (-1)^n.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da série, que é an = 3^1n. Nosso objetivo é verificar se essa série alternada converge ou diverge.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), que diz que uma série alternada sumn=1^infty(-1)^n an converge se três condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são positivos.
  2. A sequência an é decrescente.
  3. O limite de an quando n tende ao infinito é zero.

Passo 5

Vamos verificar cada uma dessas condições:
  1. Positividade: an = 3^1n é sempre positivo, já que qualquer número positivo elevado a uma potência real continua sendo positivo.
  2. Decrescimento: Vamos ver se an está diminuindo conforme n aumenta. Observamos que conforme n aumenta, 3^1n se aproxima de 1, já que limn to infty 3^1n = 1. Portanto, an está de fato decrescendo.
  3. Limite: Precisamos calcular o limite de an quando n vai para o infinito:
    limn to infty 3^1n = 1
    Esse limite não é zero.

Passo 6

Como a terceira condição do Teste da Série Alternada não é atendida (o limite de an não é zero), podemos concluir que a série não converge pelo Teste da Série Alternada.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n 3^1n diverge, pois o limite do termo geral não tende a zero.

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