Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos aqui:
. Essa é uma série alternada porque os termos têm sinais que mudam de positivo para negativo e vice-versa devido ao
.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da série, que é
. Nosso objetivo é verificar se essa série alternada converge ou diverge.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), que diz que uma série alternada
converge se três condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos. - A sequência
é decrescente. - O limite de
quando tende ao infinito é zero.
Passo 5
Vamos verificar cada uma dessas condições:
-
Positividade:
é sempre positivo, já que qualquer número positivo elevado a uma potência real continua sendo positivo. -
Decrescimento: Vamos ver se
está diminuindo conforme aumenta. Observamos que conforme aumenta, se aproxima de 1, já que . Portanto, está de fato decrescendo. -
Limite: Precisamos calcular o limite de
quando vai para o infinito: Esse limite não é zero.
Passo 6
Como a terceira condição do Teste da Série Alternada não é atendida (o limite de
não é zero), podemos concluir que a série não converge pelo Teste da Série Alternada.
Resposta
A série
diverge, pois o limite do termo geral não tende a zero.