Prove que, para todo
tem-se
e conclua que
é um conjunto aberto.
Passo 1
Beleza, vamos nessa! O exercício pede para provar que, para qualquer conjunto
nos números reais, a interioridade da interioridade de
é igual à interioridade de
, ou seja,
. Além disso, precisamos concluir que
é um conjunto aberto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a interioridade de um conjunto e o conceito de conjunto aberto na topologia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a interioridade de um conjunto. A interioridade de
, denotada por
, é o maior conjunto aberto que está contido em
. Ou seja, é formado por todos os pontos de
que têm um entorno aberto totalmente dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. Pela definição, a interioridade de
é o maior conjunto aberto contido em
. Mas, como
já é um conjunto aberto (como veremos na conclusão), o maior conjunto aberto dentro dele é ele mesmo. Portanto,
.
Passo 4
Para concluir que
é um conjunto aberto, observamos que, por definição, a interioridade de
é um conjunto aberto. Isso porque
é construído exatamente para ser o maior conjunto aberto dentro de
.
Resposta
Portanto, provamos que
e que
é um conjunto aberto.