Prove que, para todo X ⊆ R tem-se Int(Int(X)) = Int(X) e conclua que Int(X) é um conjunto aberto.

Passo 1

Beleza, vamos nessa! O exercício pede para provar que, para qualquer conjunto nos números reais, a interioridade da interioridade de é igual à interioridade de , ou seja, . Além disso, precisamos concluir que é um conjunto aberto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a interioridade de um conjunto e o conceito de conjunto aberto na topologia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a interioridade de um conjunto. A interioridade de , denotada por , é o maior conjunto aberto que está contido em . Ou seja, é formado por todos os pontos de que têm um entorno aberto totalmente dentro de .

Passo 3

Agora, vamos analisar . Pela definição, a interioridade de é o maior conjunto aberto contido em . Mas, como já é um conjunto aberto (como veremos na conclusão), o maior conjunto aberto dentro dele é ele mesmo. Portanto, .

Passo 4

Para concluir que é um conjunto aberto, observamos que, por definição, a interioridade de é um conjunto aberto. Isso porque é construído exatamente para ser o maior conjunto aberto dentro de .

Resposta

Portanto, provamos que e que é um conjunto aberto.

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