Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a série converge absolutamente, converge de forma condicional ou diverge. A gente vai usar conceitos de séries numéricas e testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergir absolutamente ou condicionalmente. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge, então ela converge de forma condicional. E, claro, se nem a série original nem a dos valores absolutos convergem, então a série diverge.
Passo 3
Vamos começar analisando a série original: . Note que os termos têm um sinal alternado por causa de . Para aplicar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), precisamos verificar se a sequência dos termos positivos é decrescente e se tende a zero quando n vai para o infinito.
Passo 4
Vamos simplificar o termo 1raizn-raizn+1. Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado raizn+raizn+1, temos:
Agora, considerando os valores absolutos dos termos:
|(-1)^n+1 (raizn + raizn+1)| = raizn + raizn+1
Vamos analisar a série dos valores absolutos: sumn=1^infty (raizn + raizn+1). Podemos ver que para cada termo, raizn + raizn+1 > raizn. Sabemos que a série sumn=1^infty raizn diverge, pois é uma série p com p = 1/2 < 1.
Passo 6
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Agora, vamos verificar se ela converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada. Precisamos verificar se raizn + raizn+1 é decrescente e se tende a zero.
No entanto, raizn + raizn+1 na verdade aumenta conforme n aumenta, o que não satisfaz as condições do Teste da Série Alternada. Portanto, a série não converge condicionalmente.
Resposta
A série sumn=1^infty(-1)^n(1raizn-raizn+1)diverge.