Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. sumn=1^infty(-1)^n(1raizn-raizn+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty(-1)^n(1raizn-raizn+1) converge absolutamente, converge de forma condicional ou diverge. A gente vai usar conceitos de séries numéricas e testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergir absolutamente ou condicionalmente. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Se a série original converge, mas a série dos valores absolutos diverge, então ela converge de forma condicional. E, claro, se nem a série original nem a dos valores absolutos convergem, então a série diverge.

Passo 3

Vamos começar analisando a série original: sumn=1^infty(-1)^n(1raizn-raizn+1). Note que os termos têm um sinal alternado por causa de (-1)^n. Para aplicar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz), precisamos verificar se a sequência dos termos positivos |1raizn-raizn+1| é decrescente e se tende a zero quando n vai para o infinito.

Passo 4

Vamos simplificar o termo 1raizn-raizn+1. Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado raizn+raizn+1, temos:
1raizn-raizn+1 cdot raizn+raizn+1raizn+raizn+1 = raizn+raizn+1n - (n+1) = raizn+raizn+1-1 = -(raizn + raizn+1)
Então, o termo geral fica:
(-1)^n (1raizn-raizn+1) = (-1)^n (-raizn - raizn+1) = (-1)^n+1 (raizn + raizn+1)

Passo 5

Agora, considerando os valores absolutos dos termos:
|(-1)^n+1 (raizn + raizn+1)| = raizn + raizn+1
Vamos analisar a série dos valores absolutos: sumn=1^infty (raizn + raizn+1). Podemos ver que para cada termo, raizn + raizn+1 > raizn. Sabemos que a série sumn=1^infty raizn diverge, pois é uma série p com p = 1/2 < 1.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Agora, vamos verificar se ela converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada. Precisamos verificar se raizn + raizn+1 é decrescente e se tende a zero.
No entanto, raizn + raizn+1 na verdade aumenta conforme n aumenta, o que não satisfaz as condições do Teste da Série Alternada. Portanto, a série não converge condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n(1raizn-raizn+1) diverge.

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