Explique por que a função é descontínua no número dado a e classifique a descontinuidade. Esboce o gráfico da função.
© f(x) = { cos(x) se x < 0, 0 se x = 0, 1 - x^2 se x > 0 ; a = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente explicar por que a função é descontínua em , classificar esse tipo de descontinuidade e ainda desenhar o gráfico da função. A matéria envolvida aqui são funções e seus tipos de continuidade, então vamos precisar entender o que é continuidade, limites laterais e como identificar diferentes tipos de descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se as seguintes condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Se alguma dessas condições não for atendida, a função tem uma descontinuidade em .

Passo 3

Vamos analisar cada uma dessas condições para a nossa função no ponto :
  1. está definida?
    Sim, pelo enunciado, .
  2. O limite de quando se aproxima de 0 existe?
    Para isso, precisamos calcular os limites laterais, ou seja, quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
    • Limite pela esquerda ( ):
      Aqui, . Sabemos que , então:
    • Limite pela direita ( ):
      Aqui, . Quando se aproxima de 0, tende a 0, então:
    Já que os dois limites laterais são iguais (ambos são 1), o limite geral existe e é igual a 1.
  3. O limite é igual a ?
    O limite de quando é 1, mas . Como , essa condição não é satisfeita.

Passo 4

Como a função não satisfaz todas as condições para ser contínua em , ela é descontínua nesse ponto. Vamos classificar o tipo de descontinuidade.
Existem basicamente três tipos de descontinuidade:
  1. Removível: Quando o limite existe, mas é diferente do valor da função no ponto.
  2. Pula (ou de salto): Quando os limites laterais existem, mas são diferentes entre si.
  3. Essencial (ou infinita): Quando pelo menos um dos limites laterais não existe ou é infinito.
No nosso caso:
  • O limite quando é 1.
  • O limite quando é 1.
  • O limite geral é 1, que é diferente de .
Isso se encaixa na definição de descontinuidade removível, porque o limite existe e é igual de ambos os lados, mas é diferente do valor da função no ponto.

Passo 5

Por último, vamos esboçar o gráfico da função :
  • Para : A função é , que é uma curva oscilante que passa por , , etc.
  • Para : .
  • Para : A função é , que é uma parábola invertida com o vértice em .
No ponto , vemos que há um “ponto destacado” em , enquanto os valores próximos a 0 (pela esquerda e pela direita) se aproximam de 1. Isso visualiza a descontinuidade removível.

Resposta

A função é descontínua em porque o limite de quando se aproxima de 0 é 1, diferente de . Essa descontinuidade é do tipo removível. O gráfico da função apresenta uma quebra no ponto , com à esquerda e à direita.

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