Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente explicar por que a função é descontínua em , classificar esse tipo de descontinuidade e ainda desenhar o gráfico da função. A matéria envolvida aqui são funções e seus tipos de continuidade, então vamos precisar entender o que é continuidade, limites laterais e como identificar diferentes tipos de descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se as seguintes condições forem satisfeitas:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
Se alguma dessas condições não for atendida, a função tem uma descontinuidade em .
Passo 3
Vamos analisar cada uma dessas condições para a nossa função no ponto :
está definida?
Sim, pelo enunciado, .
O limite de quando se aproxima de 0 existe?
Para isso, precisamos calcular os limites laterais, ou seja, quando se aproxima de 0 pela esquerda () e pela direita ().
Limite pela esquerda ():
Aqui, . Sabemos que , então:
Limite pela direita ():
Aqui, . Quando se aproxima de 0, tende a 0, então:
Já que os dois limites laterais são iguais (ambos são 1), o limite geral existe e é igual a 1.
O limite é igual a ?
O limite de quando é 1, mas . Como , essa condição não é satisfeita.
Passo 4
Como a função não satisfaz todas as condições para ser contínua em , ela é descontínua nesse ponto. Vamos classificar o tipo de descontinuidade.
Existem basicamente três tipos de descontinuidade:
Removível: Quando o limite existe, mas é diferente do valor da função no ponto.
Pula (ou de salto): Quando os limites laterais existem, mas são diferentes entre si.
Essencial (ou infinita): Quando pelo menos um dos limites laterais não existe ou é infinito.
No nosso caso:
O limite quando é 1.
O limite quando é 1.
O limite geral é 1, que é diferente de .
Isso se encaixa na definição de descontinuidade removível, porque o limite existe e é igual de ambos os lados, mas é diferente do valor da função no ponto.
Passo 5
Por último, vamos esboçar o gráfico da função :
Para : A função é , que é uma curva oscilante que passa por , , etc.
Para :.
Para : A função é , que é uma parábola invertida com o vértice em .
No ponto , vemos que há um “ponto destacado” em , enquanto os valores próximos a 0 (pela esquerda e pela direita) se aproximam de 1. Isso visualiza a descontinuidade removível.
Resposta
A função é descontínua em porque o limite de quando se aproxima de 0 é 1, diferente de . Essa descontinuidade é do tipo removível. O gráfico da função apresenta uma quebra no ponto , com à esquerda e à direita.